An welchen Stellen f diffbar, stetig

17.01.2010, 13:56

Mathemaus29

An welchen Stellen f diffbar, stetig

Hallo zusammen,

ich hab leider mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich sie bearbeiten soll:

Bestimmen Sie an welchen Stellen $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ die folgenden Funktionen stetig und an welchen differenzierbar sind. Bestimmen Sie an allen Stellen, an denen Funktionen differenzierbar sind, die Ableitung.

1. $\begin{eqnarray*} f(x)=x*\left[x\right] - \frac{\left[x\right]^{2}+\left[x\right] }{2} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} g(x)= x*| x| \end{eqnarray*}$

Diese [] Klammern sollen in diesem Fall Gaußklammern sein, die nach unten abrunden (bei 1.). In der 2. Funktionen handelt es sich dann wirklich um Betragsstriche.

Über jede Hilfe wäre ich dankbar!

Liebe Grüße

17.01.2010, 14:30

tmo

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An welchen Stellen ist f denn sicher stetig? Und welche gilt es genauer zu untersuchen?

17.01.2010, 14:32

Leopold

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Zur zweiten Funktionen siehe auch hier.

17.01.2010, 15:44

Mathemaus29

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Das ist ja mein großes Problem. Ich habe noch nie Stetigkeit bestimmen müssen, nur immer die formale Definition bekommen. bei 1/x zB müsste man sich die Stelle x=0 genauer ansehen. Aber woher weiß ich denn, welche Stellen bei einer Funktion wie hier gegeben sicher stetig sind?

17.01.2010, 17:03

Leopold

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Zitat:

Original von Mathemaus29
bei 1/x zB müsste man sich die Stelle x=0 genauer ansehen.

Ein weitverbreiteter Irrtum. $\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Stetigkeit oder Unstetigkeit von Funktionen ist aber nur für Definitionsstellen erklärt.

Stetigkeit pflanzt sich bei $\begin{eqnarray*} +,-\cdot,: \end{eqnarray*}$ fort. Das heißt, sind zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig, so ist auch $\begin{eqnarray*} u+v \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig. Entsprechendes gilt für die anderen Grundrechenarten.

Jetzt ist die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto [x] \end{eqnarray*}$ überall außer bei $\begin{eqnarray*} x=n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ stetig (dort macht der Graph einen Sprung). Für die Funktionen $\begin{eqnarray*} x \mapsto 2x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ trifft das auch zu (sie sind auch bei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ stetig, das interessiert im Moment aber nicht). Also ist auch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( 2x - 1 - [x] \right) \cdot [x] \end{eqnarray*}$

dort stetig. Du mußt daher lediglich noch die Stellen $\begin{eqnarray*} x = n\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ untersuchen. Der Funktionswert ist

$\begin{eqnarray*} f(n) = \frac{1}{2} \cdot \left( 2n - 1 - [n] \right) \cdot [n] = \frac{1}{2} \cdot \left( 2n - 1 - n \right) \cdot n = \frac{1}{2} n(n-1) \end{eqnarray*}$

Das ist zugleich auch der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to n, x>n \end{eqnarray*}$ , denn die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto [x] \end{eqnarray*}$ ist bei den ganzen Zahlen immerhin noch rechtsseitig stetig.

Jetzt untersuche noch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to n, x<n \end{eqnarray*}$ . Wenn der Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} f(n) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch bei $\begin{eqnarray*} x=n \end{eqnarray*}$ stetig und im andern Fall eben nicht.

17.01.2010, 20:02

Sete

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Also bei der ersten.

habe ich jetzt über $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

abgeleitet und will jetzt darüber die differenzierbarkeit bestimmen. Geht das so, weil bisher kommt nichts gescheites raus unglücklich

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