Verkettung einer gleichmäßig konvergenten mit einer gleichmäßig stetigen Funktion ist glm konv?

17.01.2010, 14:25	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung einer gleichmäßig konvergenten mit einer gleichmäßig stetigen Funktion ist glm konv? Hi Leute! Ich hab eine Frage: Sagen wir mal wir haben eine Funktionenfolge g_n die gleichmäßig gegen g konvergiert. Ferner sei f glm stetig. Ist dann f(g_n(x)) eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge die gegen f(g(x)) konvergiert? Ich hab versucht das zu beweisen, bin mir aber nicht mal sicher ob die Aussage so stimmt, oder ob man vlt noch weitere Einschränkungen machen muss... Vielen Dank im Voraus, Klappergrasmuecke
17.01.2010, 14:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das gilt: Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ vorgegeben. Nun gibt es ein $\begin{eqnarray} \delta_f \end{eqnarray}$ , sodass für $\begin{eqnarray} \|x-y\| < \delta_f \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ . Weiterhin gibt es ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für alle x und $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|g_n(x)-g(x)\| < \delta_f \end{eqnarray}$ , womit wir fast schon fertig sind.
17.01.2010, 15:02	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, danke! Brett vorm Kopf

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