Folgen-Häufungspunkt (schnelle Verständnisfrage)

17.01.2010, 14:52

TimTim

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Folgen-Häufungspunkt (schnelle Verständnisfrage)

Hi, ich hätte nochmal eine kurze Frage zum Thema Häufungspunkte bei Folgen:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1}{n}+sin\frac{n\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Ziel: Häufungspunkte bestimmen!

Ansatz:

Teilfolge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0 -> Häufungspunkt 1 = 0.

Teilfolge $\begin{eqnarray*} sin\frac{n\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ...konvergiert nicht dank Sinus...

damit gibt es nur einen Häufungspunkt !?

17.01.2010, 15:01

pseudo-nym

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Du kannst Häufungspunkte nicht daduch bestimmen, dass du Teile der Folge betrachtest.

Zitat:

Teilfolge $\begin{eqnarray*} sin\frac{n\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ...konvergiert nicht dank Sinus...

So kann man das nicht sagen, denn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sin(n\pi) = 0 \end{eqnarray*}$

Schau dir mal die ersten paar Folgenglieder des zweiten Summanden an.

@Signatur:
Ich nehme mal an, dass x ein Mensch ist. Dann muss es heißen $\begin{eqnarray*} \forall x \, \text{mit} \operatorname{Alter}(x) \geq 16 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2010, 15:02

Airblader

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Um die Begrifflichkeitsproblematik mal zu betonen:

Eine 'Teilfolge' ist nicht ein 'Teil der Folge' im Sinne einzelner Summanden.

air

17.01.2010, 15:11

TimTim

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Also im Prinzip muss man das ja durch 'genaues hinsehen' erkennen welcher Teil der Folge jetzt für die Oszillation verantwortlich in.

Ich hab mir einfach mal sin(pi), sin(n/2) und die Folge selber plotten lassen und befinde den Teil sin(n/2) als ausschlaggebend.

Da wäre ich aber mal nicht durch hinschauen drauf gekommen, gibt es da irgend enen Trick? Und wie berechne ich jetzt konkret die Grenzwerte von dem Teil?

17.01.2010, 15:12

Airblader

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Du kannst Häufungspunkte nicht daduch bestimmen, dass du Teile der Folge betrachtest.

air

17.01.2010, 15:14

TimTim

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1/n wird doch aber bei steigendem n immer kleiner und dessen Einfluss auf das Gesammtergebnis nimmt immer weiter ab?

Wie berchnet man denn sowas!? Einfaches Einsetzen ist ja keine Begründung!

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17.01.2010, 15:17

pseudo-nym

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Zitat:

Original von pseudo-nym
Schau dir mal die ersten paar Folgenglieder des zweiten Summanden an.

17.01.2010, 15:24

TimTim

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Wie verrückt ist das denn bitte, die Funktion hat 3 Häufungspunkte (-1,0,1) ? Das ist mir ja noch nie passiert.

Aber die Frage bleibt, wie mach ich das denn 'Formal korrekt' ich kann ja schlecht sagen "so ich hab jetzt 1-5 für n eingesetzt und sehe anhand meiner stichprobe, dass die und die häufungspunkte exsitieren".

Gibt es zudem irgendwelche guten rechenregeln wenn man mit pi konfrontiert wird?
Ohne meinen taschenrechner wär ich sicher nicht drauf gekommen, dass sin((3*pi)/2) = -1 ist !

17.01.2010, 15:27

Cel

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Zitat:

Original von TimTim
Wie verrückt ist das denn bitte, die Funktion hat 3 Häufungspunkte (-1,0,1) ? Das ist mir ja noch nie passiert.

Es gibt sogar Folgen, die unendlich viele Häufungspunkte haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von TimTim
Ohne meinen taschenrechner wär ich sicher nicht drauf gekommen, dass sin((3*pi)/2) = -1 ist !

Dann gewöhn dich lieber schnell dran. Diese Standardstellen sollte man schon auswendig können.

17.01.2010, 15:34

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Mr. Brightside

Zitat:

Original von TimTim
Wie verrückt ist das denn bitte, die Funktion hat 3 Häufungspunkte (-1,0,1) ? Das ist mir ja noch nie passiert.

Es gibt sogar Folgen, die unendlich viele Häufungspunkte haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Insbersondere auch welche die überabzählbar unendlich viele Häufungspunkte haben(!)

Formal gut wäre es jetzt wenn du die Folge in die Teilfolgen
$\begin{eqnarray*} a_{2n},\, a_{4n+1},\, a_{4n-1} \end{eqnarray*}$
aufteilst und zeigst das diese konvergieren.

17.01.2010, 16:19

TimTim

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Hallo, danke euch allen für die Hilfe! Ich denke ich habs jetzt verstanden.

Ich weiss das hier hat nichts mit dem Thema zu tun aber wenn ich einen Ausdruck habe:

cos^2 ist das dann einfach cos(x)*cos(x) oder irgend ein spezieller Cosinus? Konnte dazu im Netz noch nichts finden und ich wollte kein eigenes Thema für die Frage aufmachen!

17.01.2010, 16:24

pseudo-nym

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Es gibt da verschiedene Konventionen

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = (\cos(x))^2 = \cos(x) \cos(x) \\ \cos^2(x) = \cos(\cos(x)) \end{eqnarray*}$

sollte eigentlich vermerkt sein. Oder, wenn du die Aufgabe von jemandem gestellt bekommen hast, frag ihn.

17.01.2010, 16:30

TimTim

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Nun ich soll für:

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{((x-\pi/2)^{2})}{(cos^{2}x)} \end{eqnarray*}$

Die Regel von L'Hospital anwenden und schauen ob es einen Grenwzert gibt und den dann angeben. Eine Definition von cos^2 steht nirgends.

Link zum Übungsblatt sonst:
Ü-Blatt

Ich dachte halt ich machs das jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{((x-\pi/2)^{2})^{'}}{(cos^{2}x)'}=\underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{2(x-\frac{\pi}{2})}{2cosx}=\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Weiss halt nicht ob die Ableitung für den Cosinus korrekt ist, hab einfach jetzt das Schema: f(x)=x^2 -> f'(x)=2x angewandt!

17.01.2010, 16:35

pseudo-nym

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Es gilt dann wohl die erste Konvention, denn sonst kann man l'Hospital nicht anwenden.

Allerdings kann man so nicht ableiten. Stichwort Kettenregel.

17.01.2010, 16:42

TimTim

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Nagut aber am Gesammtergebnis ändert sich ja auch nix:

$\begin{eqnarray*} \underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{((x-\pi/2)^{2})^{'}}{(cos^{2}x)'}=\underset{x\rightarrow\pi/2}{lim}\frac{2(x-\frac{\pi}{2})}{-2*sin(x)*cos(x)}=\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

d.h. ich müsste jetzt die zweite Ableitung untersuchen und so weiter

17.01.2010, 16:54

pseudo-nym

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jo

17.01.2010, 17:06

TimTim

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Na danke, ich gebs mit L#Ospital in dem Fall allerdings auf. Die zweite Ableitung ist schon die absolute Hölle und die liefert immernoch keinen brauchbaren Wert! taschenrechner sagt grenzwert = 1... woher der das auch immer hat ;-)!

17.01.2010, 17:08

Airblader

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Wenn du sin(2x) = 2sin(x)cos(x) weißt, dann wird die 2. Ableitung nicht schwer. Gut, das wird sie auch so nicht. Ist doch nur eine Produktregel?

air

17.01.2010, 17:19

TimTim

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woher weiss ich denn, dass:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) !?

17.01.2010, 19:13

Airblader

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Nun, das ist ein Spezialfall eines Theorems, das man durchaus kennen sollte. Falls nicht, wie gesagt - auch mit Produktregel dürfte das nicht so schwer abzuleiten sein.

air

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