erwartungtreuer schätzer

17.01.2010, 14:59

anna89ms

erwartungtreuer schätzer

Hallo,
ich muss leider die Stochastikvorlesung hören und kam mit der Stochastik eigentlich auch ganz gut klar. Doch nun machen wir Statistik und da hab ich nun sehr große Probleme! verwirrt

Konkret geht es nun um die beiden folgenden Aufgaben. Ich hab mir gerade nochmals das Skript angeschaut, aber irgendwie hat mir das auch nicht gebracht. Ich weiß einfach nicht, wie ich an die Aufgaben rangehen soll. Könntet ihr mir das vielleicht skizzieren? Gott

Hier die Aufgaben:
A1) Es seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen, wobei $\begin{eqnarray*} P(X_1 = 1) = 1 - P(X_1 = 0) = p \in (0,1) \end{eqnarray*}$
gelte. Zeigen Sie, dass es keinen Schätzer $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1/p \end{eqnarray*}$ gibt, der erwartungstreu ist.

A2)
Es sei X binomialverteilt zu den Parametern n und p, wobei n bekannt und p unbekannt sei. Weiter bezeichne $\begin{eqnarray*} \vec{p_1}(X) :=\frac{X+1}{n+2} \end{eqnarray*}$ einen Schätzer für p und \vec{p} bezeichne den gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzer für p. Zeigen Sie, dass es ein Intervall $\begin{eqnarray*} I = (p_1, p_2) \subseteq [0, 1] \end{eqnarray*}$ gibt, so dass das Risiko $\begin{eqnarray*} R(p, \vec{p}) > R(p, \vec{p_1} ) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p \in I \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Zur Notation: Ich schreibe $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ für p^

Erwartungstreu heißt ja: $\begin{eqnarray*} E_p[\vec{p}(X_1,...,X_n)] = p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p \in [0,1] \end{eqnarray*}$
Doch wie gehe ich da nun ran? Wäre auch sehr verbunden, wenn ihr mir helfen könntet!
Gruß,
Anna

17.01.2010, 19:51

anna89ms

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Hab mich nun nochma damit beschäftigt. Die 1 meine ich gelöst zu haben.
zur 2. aufgabe:
$\begin{eqnarray*} R(p,\vec{p})=E_p[(\vec{p}-p)^2] \end{eqnarray*}$
d.h. doch, dass ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} E_p(\vec{p}) > E_p(\vec{p_1}) \end{eqnarray*}$ oder wie geh ich daran?

17.01.2010, 20:02

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Zitat:

Original von anna89ms
Die 1 meine ich gelöst zu haben.

Aus Interesse: Wie bist du vorgegangen?

P.S.: LaTeX-Hinweis: $\begin{eqnarray*} \hat{p} \end{eqnarray*}$ , geschrieben \hat{p} .

17.01.2010, 21:03

anna89ms

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Danke für den Hinweis!
Meine Lösung zur 1: Die Dichte von $\begin{eqnarray*} X= (X_1,...,X_n) \end{eqnarray*}$ im Bernoulli-Exp sieht so aus: $\begin{eqnarray*} f(x,p)=f(z,p)=p^z(n-p)^{n-z} mit z=\sum\limits_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$
Dann versuche ich einen schätzer zu finden, der nur von einer suffizienten Statistik abhängt: $\begin{eqnarray*} T(Z): ET(Z)=1/p: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ET(Z)=\sum\limits_{z=0}^n T(Z) \begin{pmatrix} n \\ z \end{pmatrix} p^z(1-p)^{n-z}=1/p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n G(n,z)p^k=1/p \end{eqnarray*}$
Wo $\begin{eqnarray*} G_k(n,z) \end{eqnarray*}$ die Summe aller Koeff. die neben $\begin{eqnarray*} p^k \end{eqnarray*}$ stehen sind. Auf der linken Seite dieser Gleichung steht ein Polynom nten Grades, auf der rechten eine Funktion $\begin{eqnarray*} p^{-1} \end{eqnarray*}$ , die nicht als ein (endl) Polynom nten Grades ausdrücken lässt -> gibt kein T(Z) das die Gleichung erfüllen könnte.

Kannst du mir denn nen Tipp zur anderen Aufgabe geben?

18.01.2010, 11:39

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Zu 2.)

Der gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dürfte $\begin{eqnarray*} \hat{p} = \frac{X}{n} \end{eqnarray*}$ sein. Nun heißt es rechnen:

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}) = E_p[(\hat{p}-p)^2] = E_p\left[\left( \frac{X}{n}-p \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}_1) = E_p[(\hat{p}_1-p)^2] = E_p\left[\left( \frac{X+1}{n+2}-p \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$

das sind beides Funktionen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - und dann mal Ausschau halten nach dem fraglichen Intervall.

18.01.2010, 12:05

anna89ms

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danke, werd mich mal dran veesuchen. was hälst du denn von meiner anderen lösung?

18.01.2010, 12:11

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Die ist einwandfrei in Ordnung, ich hätte lediglich an einer Stelle anders abgezweigt: Da es nur endlich viele Werte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} T(z) \end{eqnarray*}$ gibt, folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} ET(Z) \leq \max\limits_{z=0,\ldots,n} T(z) \end{eqnarray*}$

Das rechts ist also eine feste, d.h. von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ unabhängige obere Schranke für $\begin{eqnarray*} ET(Z) \end{eqnarray*}$ , die aber im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} p\to 0 \end{eqnarray*}$ vom Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ mühelos durchbrochen wird - Widerspruch zur Erwartungstreue.

18.01.2010, 18:41

anna89ms

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zu 2.)

Der gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dürfte $\begin{eqnarray*} \hat{p} = \frac{X}{n} \end{eqnarray*}$ sein. Nun heißt es rechnen:

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}) = E_p[(\hat{p}-p)^2] = E_p\left[\left( \frac{X}{n}-p \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}_1) = E_p[(\hat{p}_1-p)^2] = E_p\left[\left( \frac{X+1}{n+2}-p \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$

das sind beides Funktionen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - und dann mal Ausschau halten nach dem fraglichen Intervall.

Kannst du mir dabei vielleicht nochmals helfen? Wir saßen da vorhin zu dritt ne Ewigkeit dran und haben nicht wirklich was sinnvolles hinbekommen.
Also die Frage in welchem Intervall für $\begin{eqnarray*} p \in [0,1] \end{eqnarray*}$ diese obige Ungleichung $\begin{eqnarray*} R(p, \hat{p}) > R(p, \hat{p_1}) \end{eqnarray*}$ gilt. Wir haben versucht das auszurechnen, ist uns aber nicht gelungen.
Was könnten wir denn hier benutzen?
Sicherlich die Linearität des Erwartungswertes, somit könnte man, wenn man die binomischen Formeln ausrechnet, diese auseinanderziehen. Also würde auf beiden Seiten der Erwartungswert von p² wegfallen.
Nun weiß ich noch, dass $\begin{eqnarray*} E(\hat{p})=p \end{eqnarray*}$ , aber über $\begin{eqnarray*} E(\hat{p_1^2}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E(2p\hat{p})=2E(p\hat{p}) \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht mehr oder?
Eine Überlegung von uns war auch, dass wenn $\begin{eqnarray*} X<Y \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} E(X)<E(Y) \end{eqnarray*}$ gilt. Zudem folgt aus $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 < (c-b)^2 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} a-b < c-b \end{eqnarray*}$ . Wenn wir letzteres benutzen hatten wir herausbekommen, dass $\begin{eqnarray*} p \in (2-n,n) \end{eqnarray*}$ aber ich glaube nicht, dass dieses richtig ist!?

Wäre auch sehr dankbar, wenn ihr uns helfen könntet!

18.01.2010, 19:03

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Also es ist doch $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ , da sollte $\begin{eqnarray*} E(X)=np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = np(1-p) \end{eqnarray*}$ bekannt sein. Mit einer Zentrierung $\begin{eqnarray*} Z=X-np \end{eqnarray*}$ spart man sich noch ein wenig an Rechen- und Schreibaufwand, denn dann ist

$\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(Z) = E(Z^2) = np(1-p) \end{eqnarray*}$ .

Die Berechnung von

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}) = E_p\left[\left( \frac{Z}{n} \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$

sollte damit nun gar kein Problem mehr sein, und die von

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}_1) = E_p\left[\left( \frac{Z+np+1}{n+2}-p \right)^2 \right] = E_p\left[\left( \frac{Z}{n+2} + \frac{1-2p}{n+2} \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$

nach Ausmultiplizieren auch nicht.

18.01.2010, 20:15

anna89ms

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18.01.2010, 21:23

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Grmml, es ist

$\begin{eqnarray*} (Z+1-2p)^2 = Z^2 +2Z(1-2p) + (1-2p)^2 \end{eqnarray*}$ . LOL Hammer

18.01.2010, 22:04

anna89ms

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ok dann sollte nun
$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}) = E_p\left[\left( \frac{Z}{n} \right)^2 \right]=\frac{1}{n^2} E_p[Z^2]=p(\frac{1-p}{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(p,\hat{p}_1) = E_p\left[\left( \frac{Z+np+1}{n+2}-p \right)^2 \right] = E_p\left[\left( \frac{Z}{n+2} + \frac{1-2p}{n+2} \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n+2} E_p[(Z+1-2p)^2] = \frac{1}{n+2} E_p[Z^2+2Z(1-2p)+(1-2p)^2] = \frac{1}{n+2} [np(1-p) + 0 + (1-2p)^2 ] \end{eqnarray*}$
mh aber wie find ich nun son intervall das diese gleichung erfüllt?
Ich hab auch wohl tierische Probleme mit dem Erwartungswert.
Also ich darf Sachen, die nicht von p abhängen, wie n rausziehen. Aber was ist denn z.B. $\begin{eqnarray*} E_p[1-2p)^2] \end{eqnarray*}$ kA wie ich das berechnen soll.
zudem wieso muss ich bei der binomischen Formel so rechnen, wie du es getan hast?

18.01.2010, 22:41

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$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, die darfst du auch rausziehen.

Und im Nenner steht $\begin{eqnarray*} (n+2)^2 \end{eqnarray*}$ ... zu viele Flüchtigkeitsfehler für meinen Geschmack. Schließlich reicht einer, um alles zu vernichten. unglücklich

Es verbleibt jetzt, alles einzusetzen und

$\begin{eqnarray*} \frac{p(1-p)}{n} > \frac{np(1-p) + (1-2p)^2}{(n+2)^2} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

geeignet umzuformen, dass du daraus ein passendes p-Intervall ablesen kannst, für das (*) gilt. Musst ja Ungleichung (*) nicht exakt lösen, es reicht ja ein Teilintervall der Lösung.

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