Nochmal Zerfällungskörper & Basen

17.01.2010, 15:15	Homer Jay	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal Zerfällungskörper & Basen Hi, da es glaube ich besser ist diese Aufgabe nicht in den anderen Thread zu poste habe ich sicherheitshalber einen neuen aufgemacht. Die Aufgabe ist ähnlich wie vorhin, also man soll den Zerfällungskörper und eine Basis bestimmen für das Polynom: $\begin{eqnarray} f(x)=(x³-5)(x²-3) \in \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Ich bin bisher so vorgegangen: Definiere $\begin{eqnarray} f_1(x)= x³-5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2(x)=x²-3 \end{eqnarray}$ Wissen: Polynome der Form $\begin{eqnarray} x^n-p \end{eqnarray}$ mit p Primzahl sind irreduzibel über Q. NST bestimmen von f_1(x): x³-5 = 0 <=> $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5}e^{\frac{2\pi i k}{3}} \end{eqnarray}$ mit k=0,1,2 Folglich lauten die NST: $\begin{eqnarray} x_0=\sqrt[3]{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=\sqrt[3]{5}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=\sqrt[3]{5}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{eqnarray}$ NST bestimmen von f_2(x): $\begin{eqnarray} x_3=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_4=-\sqrt{3} \end{eqnarray}$ Nun müsste der ZFK doch $\begin{eqnarray} \mathbb Q(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray}$ lauten. Jedoch sind einige Elemente schon in Q, bzw. negative muss man nicht extra adjungieren, sodass eine Basis $\begin{eqnarray} \{1, \sqrt{3}, \sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5}\cdot i\frac{\sqrt{3}}{2}\} \end{eqnarray}$ Hab ich hier was übersehen?
17.01.2010, 15:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grad des Zerfällungskörpers $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 3)(\sqrt[3]5,\rho) \end{eqnarray}$ ist 23=6. Eine Basis kannst du aus den Basen $\begin{eqnarray} \{1,\sqrt 3\},\{1,\sqrt[3]5,\rho\} \end{eqnarray*}$ berechnen, indem du jeden Basisvektor der einen Erweiterung mit jedem Basisvektor der anderen Erweiterung multiplizierst.

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