Lösungsansatz für DGL

17.01.2010, 15:34

joe500

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Lösungsansatz für DGL

Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich des Lösungsansatzes bei gewöhnlichen DGL:
z.B.:
$\begin{eqnarray*} y''-y'+2*y=x*e^x+2*sinx+cosx \end{eqnarray*}$
Hier muss ich wohl eine Kombination aus den beiden Ansätzen
$\begin{eqnarray*} A*sinx+B*cosx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A*x*e^x \end{eqnarray*}$ wählen. Insgesamt hätte ich nun: $\begin{eqnarray*} y_{p}=A*sinx+B*cosx+A*x*e^x \end{eqnarray*}$ das noch 2mal ableiten und rückeinsetzten. würde das so stimmen?
Die Lsg für den Homogenen Teil lautet:
$\begin{eqnarray*} y=e^{(1/2)*x}*(C_{1}*sin(\sqrt{(7/4)}*x)+C_{2}*cos(\sqrt{(7/4)}*x) \end{eqnarray*}$

weiters habe ich eine Riccatische DGL gegeben, bei der ich zuerst auf eine partikuläre Lsg kommen muss:
$\begin{eqnarray*} y'=y^2+(1-2)*y+(2-2+x) \end{eqnarray*}$
Leider ist die Ansatzmethode meine Achillesferse. Es gibt zwar einige Tabellen mit Ansatzvorschlägen, doch mich würde viel lieber interessieren, ob es nicht einen Schmäh gibt, mit dem man erkennen kann welchen Ansatz man nun braucht?

Vielen Dank im Voraus Joe

22.01.2010, 12:40

wergor

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mich würde das auch interessieren.

23.01.2010, 19:02

vektorraum

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RE: Lösungsansatz für DGL

Zitat:

Original von joe500
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich des Lösungsansatzes bei gewöhnlichen DGL:
z.B.:
$\begin{eqnarray*} y''-y'+2*y=x*e^x+2*sinx+cosx \end{eqnarray*}$
Hier muss ich wohl eine Kombination aus den beiden Ansätzen
$\begin{eqnarray*} A*sinx+B*cosx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A*x*e^x \end{eqnarray*}$ wählen. Insgesamt hätte ich nun: $\begin{eqnarray*} y_{p}=A*sinx+B*cosx+A*x*e^x \end{eqnarray*}$ das noch 2mal ableiten und rückeinsetzten. würde das so stimmen?
Die Lsg für den Homogenen Teil lautet:
$\begin{eqnarray*} y=e^{(1/2)*x}*(C_{1}*sin(\sqrt{(7/4)}*x)+C_{2}*cos(\sqrt{(7/4)}*x) \end{eqnarray*}$

Erste wichtige Bemerkung: Zwei Aufgaben heißt: zwei verschiedene Threads! Sonst kommen wir im Laufe der Diskussion durcheinander.

Zur ersten Aufgabe: Deine Lösung zur homogenen Dgl stimmt. Dein Ansatz ist jedoch unvollständig. Du hast vor der e-Funktion ein Polynom ersten Grades, du solltest also vor deinem Ansatz auch mindestens ein Polynom ersten Grades stehen haben, ohne Koeffizienten verschwinden zu lassen. Besser ist es, wesentlich allgemeiner anzusetzen, Koeffizienten können ja immer noch verschwinden Augenzwinkern

Augenzwinkern

zur Ricatti: Ist die Dgl. wirklich so richtig??? Fehlt da nicht noch was?

23.01.2010, 19:35

joe500

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Danke vorerst für deine Hilfe Freude

Freude

die Riccatische DGL lautet korrekter Weise
$\begin{eqnarray*} y'=y^2+(1-2*x)*y+(2-2*x) \end{eqnarray*}$ sorry deswegen.

24.01.2010, 08:47

vektorraum

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Bei Ricatti-Dgl's hat man ja den Nachteil, dass man sie nur lösen kann, wenn man eine spezielle Lösung kennt. Probiere doch mal, eine Lösung durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} y_s(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ zu finden.

Man muss halt immer etwas rumprobieren, durch Polynome, e-Funktionen, Sinus- und Cosinus-Funktionen usw. Hier springt einem durch die entsprechenden Terme eine Polynomfunktion ersten Grades ins Auge.

24.01.2010, 11:24

joe500

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Bei der Ersten oben genannten DGl hab ich nun meinen Ansatz verfeinert:
$\begin{eqnarray*} y_{p}=A*sin(x)+B*cos(x)+(A*x+B)e^{x} \end{eqnarray*}$
nach dem Einsetzen kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} 4*e^{x}*(Ax+B)+3*A*e^{x}=x*e^x+2*sinx+cosx \end{eqnarray*}$

weiter habe ich noch nicht gerechnet, ich möchte zuerst deinen Segen abwarten Big Laugh

Big Laugh

lg Joe

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24.01.2010, 11:31

vektorraum

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Segnen kann ich dich leider nicht, dir nur bei deinem Ansatz helfen:

Warum müssen die Koeffizienten des Polynoms mit den Koeffizienten der entsprechenden Sinus- und Cosinus-Terme übereinstimmen? Wähle andere Konstanten.

Es muss sicherlich ein "Mal" zwischen dem A und dem Sinus sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2010, 11:49

joe500

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Erstmal vielen Dank, dass du mir an einem Sonntag hilfst!
Habe nun:
$\begin{eqnarray*} y_{p}=A*sin(x)+B*cos(x)+(C*x+D)e^{x} \end{eqnarray*}$
gewählt, was zu folgender Gleichung führt:
$\begin{eqnarray*} A*(sin(x)-cos(x))+B*(sin(x)+cos(x))+2*e^{x}*(C*x+D)+C*e^{x}=x*e^x+2*sinx+cosx \end{eqnarray*}$

24.01.2010, 12:01

vektorraum

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Ansatz ist korrekt, un Koeffizientenvergleich. Du hast Terme in Sinus und Cosinus, sowie in $\begin{eqnarray*} xe^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

Dann darfst du die Lösung präsentieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2010, 12:20

joe500

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$\begin{eqnarray*} A=1/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=3/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C=1/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D=-1/4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=1/2*(sin(x)-cos(x))+3/2*(sin(x)+cos(x))+2*e^{x}*(1/2*x+-1/4)+1/2*e^{x}=x*e^x+2*sinx+cosx \end{eqnarray*}$

24.01.2010, 12:32

vektorraum

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Deine Koeffizienten sind zumindest richtig. Nur noch einsetzen und fertig.

Vergiss nicht: allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. aufschreiben.

24.01.2010, 12:46

joe500

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Insgesammt habe ich dan als Lsg= $\begin{eqnarray*} y=y_{h}+y_{p}: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=e^{(1/2)*x}*(C_{1}*sin(\sqrt{(7/4)}*x)+C_{2}*cos(\sqrt{(7/4)}*x)+(\frac{x}{2}-\frac{1}{4})\cdot e^x+\frac{\sin x}{2}+\frac{3\cos x}{2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe, das war großartig Gott

Gott

24.01.2010, 12:53

vektorraum

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Mir ist nicht ganz klar, was du da treibst. Du musst selbstverständlich deine Koeffizienten in deinen Ansatz einsetzen, d.h. die spezielle Lösung ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} y_s(x)=(\frac{x}{2}-\frac{1}{4})\cdot e^x+\frac{\sin x}{2}+\frac{3\cos x}{2} \end{eqnarray*}$

Außerdem darf doch deine rechte Seite nicht mehr in der Lösung auftauchen, das ist eine Funktion?!?

verwirrt

verwirrt

Denk nochmal in Ruhe darüber nach.

24.01.2010, 13:00

joe500

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so hab mal schnell editiert... Ich hab dummerweise nicht in meinen Ansatz eingesetzt, sondern in die Gl, aus der ich die Koeffizienten bestimmt habe unglücklich

unglücklich

, reine Schlamperei sorry. Nun sollts aber passen Big Laugh

Big Laugh

24.01.2010, 13:02

vektorraum

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So müsste das jetzt passen.

Zwecks Ricatti würde ich dich bitten, dass du einen neuen Thread aufmachst und ich dann von hier aus auf den neuen Thread verweise. Vielen Dank Freude

Freude

24.01.2010, 13:05

joe500

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Natürlich wird gemacht, ich bin grad motiviert Wink

Wink

24.01.2010, 15:04

vektorraum

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Mit Ricatti geht es hier weiter!

24.01.2010, 15:06

joe500

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Wow ich hab doch erst ein neues Thema erstellt, wie kannst du das so schnell verlinken? wollte das gerade selber machen verwirrt

verwirrt

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