Komplexe Zahlen

17.01.2010, 15:44

fightnight

Komplexe Zahlen

Hallo zusammen!
Evtl. kann mir jemand hier behilflich sein?!

Aufgabe:
Schreiben Sie $\begin{eqnarray*} <br /> z = -2e^{1+j} <br /> \end{eqnarray*}$ in trigonometrischer Form:

Die Lösung habe ich "natürlich" auch schon parat... Es scheitert am Lösungsweg. Augenzwinkern

Lösung:
$\begin{eqnarray*} <br /> z = 2*e(\cos(1+\pi)+j*\sin(1+\pi ))<br /> \end{eqnarray*}$

So! Woher kommt das $\begin{eqnarray*} (1+\pi) \end{eqnarray*}$ ?
Und wie ist allgemein der Lösungsvorgang?!

17.01.2010, 16:04

El_Snyder

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Allgemein gilt

$\begin{eqnarray*} e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \end{eqnarray*}$

Mit

$\begin{eqnarray*} - e^{i \phi} = e^{i ( \phi + \pi )} \end{eqnarray*}$

solltest du die Aufgabe dann lösen können.

17.01.2010, 16:46

fightnight

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Hallo und schon mal vielen Dank!

Liege ich richtig, wenn ich zunächst den Ausdruck $\begin{eqnarray*} -2e^{1+j} \end{eqnarray*}$

umforme zu $\begin{eqnarray*} -2e^{1}*e^{j} \end{eqnarray*}$ ?

Nehme ich das $\begin{eqnarray*} (1+\pi) \end{eqnarray*}$ , da der Zeiger im 2. bzw. 3 Quadraten liegt und ich deshalb $\begin{eqnarray*} (\pi) \end{eqnarray*}$ addieren muss? Woher nehme ich aber dann die 1?

17.01.2010, 17:58

El_Snyder

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Dein Anfang ist richtig. Zum (1+pi): Ordnest du als Beispiel einer komplexen Zahl einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene im 1. Quadranten zu und addierst pi zum Argument dieser Zahl, spiegelst du den Punkt an der Imaginärachse, d.h. er liegt jetzt im 2. Quadranten. Daher ist $\begin{eqnarray*} -2 e^{i \cdot 1} = 2 e^{i \cdot ( 1 + \pi )} \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 20:15

fightnight

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Ich bin wirklich für jede Hilfe dankbar und ich sitze hier nicht und lasse mir Aufgaben vorrechnen, weil ich keine Lust habe sie selbst zu lösen. Nur ist es mit dieser (und anderen) ver******** Aufgaben so, dass ich schon seit 2 Tagen Versuche den "richtigen" Lösungsweg zu erhalten.

ALSO: Schreiben Sie $\begin{eqnarray*} z = -2e^{1+i} \end{eqnarray*}$ in trigonometrischer Form.

Meine Herangehensweise:

$\begin{eqnarray*} -2e^{1+i} = -2e^{1}*e^{i} \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn jetzt soweit? Eigentlich schon oder? Aber was nun???

1. Ich verstehe nicht woher die 1 bei (1+pi) kommt.

2.

Zitat:

Zum (1+pi): Ordnest du als Beispiel einer komplexen Zahl einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene im 1. Quadranten zu und addierst pi zum Argument dieser Zahl, spiegelst du den Punkt an der Imaginärachse, d.h. er liegt jetzt im 2. Quadranten. Daher ist $\begin{eqnarray*} -2 e^{i \cdot 1} = 2 e^{i \cdot ( 1 + \pi )} \end{eqnarray*}$

Wenn ich pi zum Argument addiere, dann sind das - meiner Meinung nach - 180° die sich der Zeiger weiter dreht. Demnach verstehe ich nicht, wie sich das an der Imaginärachse spiegelt. Eher doch im Ursprung oder?

Wie dem auch sei... Ich verzweifel langsam und bin kurz davor etwas kaputt zu machen. Gehe ich irgendjemanden auf die Nerven, dann lasst es und beachtet dieses Drama nicht weiter. Augenzwinkern

17.01.2010, 20:43

El_Snyder

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Schritt für Schritt sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} -2e^{1+i} = e^1 \cdot ( -2e^{i (1+0)} ) = 2e \cdot e^{i (1+\pi)} = 2e \cdot [\cos(1+\pi)+i \cdot \sin(1+\pi )] \end{eqnarray*}$

Und du hast natürlich Recht, dass sich der Punkt in meinem Beispiel bei pi im Ursprung punktspiegelt, sonst würde sich der Imaginärteil ja gar nicht verändern.. Ich weiss auch nicht wie ich drauf komme dass pi da 90° entsprechen verwirrt

17.01.2010, 21:06

fightnight

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Okay... Ich denke, dass ich so langsam durchblicke.
Vielen, vielen Dank für Deine Geduld... Gott

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