Lineare Abbildungen

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axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen
Hallo, ich komme leider noch nicht so zu recht beim Thema "Lineare Abbildungen" und deshalb kann ich auch die folgende Aufgabe nicht lösen und hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.

Aufgabe:

Sei die durch gegebene lineare Abbildung. Zeige, dass
und
.
Wie groß ist der Rang von f?

In den Zeilen von "im f" und "ker f" kommen nach dem Gleichheitszeichen Mengenklammer.

Vielen Dank schon voraus.

Grüße

Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ideen dazu?
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider keine. Wie gesagt, ich komme mit dem Thema noch nicht so klar.
Ich hoffe ihr habt Verständnis.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sind den Bild/Kern und Rang definiert?
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Bild L = L(V) = {Lv | v € V }

Kern L = {v € V | Lv = 0}

Rang kenne ich nur von Matrizen.

Kern wird auch Nullraum genannt.

Aber trotzdem komme ich nicht weiter.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Rang kenne ich nur von Matrizen.


Jede lineare Abbildung (auf endlich dimensionalen Räumen) lässt sich als Matrix darstellen. Vielleicht solltest Du erstmal die Matrixdarstellung der Abbildung berechnen Augenzwinkern

Alle 3 Teile lassen sich durch lineare Gleichungssysteme lösen, welche ja schon aus der Schule bekannt sind.


Kern :

Löse das Gleichungssystem



Man sieht hier schon das x = y, y = z und z = x gelten muss.

Bild :

Wenn Du die Matrixdarstellung hast, dann ist das Bild die Menge der Linearkombinationen der Spalten der Matrix. Warum?

Rang:

Hast Du ja schon gesagt das Du es bei Matrizen kannst.
 
 
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt, schaffe ich das nicht in Matrix darzustellen, sorry.
Ich meinte nicht, dass ich das mit Matrix kann, sondern den Begriff Rang aus den Matrizen nur kenne.
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte jetzt laut dem Hinweis von "Mazze" die lineare Abb. in Matrixform darstellen, um "im f" erhalten zu können.

Wäre denn die Matrixdarstellung so richtig?:




Es muss doch eigentlich eine 3x3 Matrix sein.
Ausserdem, was wäre denn hier meine Standardbasis?
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat den vielleicht jemand eine Idee?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Standardbasis ist im R³



Im Falle der Standardbasis ist die Matrixdarstellung bezüglich dieser Basis einfach :




sprich, die Spalten der Matrix sind die Bilderr der Basisvektoren unter f.
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