Binomialkoeffizient mit Bruch

17.01.2010, 23:57	Nap	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient mit Bruch Hi. Aufgabe: Taylorpolynom vom Grad 5. $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=\sqrt[4]{(1+x)^3}=(1+x)^{3/4}<br /> \end{eqnarray}$ Binomische Formel: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=1+\frac{3}{4}x+ \begin{pmatrix} 3/4 \\ 2 \end{pmatrix}x^2+ \begin{pmatrix} 3/4 \\ 3 \end{pmatrix}x^3+ \begin{pmatrix} 3/4 \\ 4 \end{pmatrix}x^4+ \begin{pmatrix} 3/4 \\ 5 \end{pmatrix}x^5<br /> \end{eqnarray}$ Nun zu meinem Problem: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3/4 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{(3/4)(-1/4)}{2}=-\frac{3}{32} \end{eqnarray}$ Aber wie rechnet man $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3/4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ usw. aus? Ich kann irgendwie keine Formel dazu finden.. Schon mal Danke für eure Hilfe. Gruß, Nap
18.01.2010, 01:05	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Neeenenenene also für $\begin{eqnarray} (1+x)^m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m\notin \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt diese einfache Formel nicht! Ihr habt in der Vorlesung das sicherlich auch mit Induktion bewiesen, die gibts ja wohl nur für natürliche Zahlen. Es gibt aber etwas ähnliches und zwar die Binomische Reihe, die eine Verallgemeinerung für $\begin{eqnarray} m\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bietet. Diese Reihe bricht allerdings nicht ab. Das jetzt hier zu verwenden wäre aber wohl nicht angemessen, es sei denn ihr hattet das in der Vorlesung. Du hast sicherlich eine Formel für die Taylorkoeffizienten kennen gelernt, in diesem Fall lassen sie sich ja relativ entspannt per Hand berechnen.
18.01.2010, 08:14	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient mit Bruch Nene, das ist schon ok, was du gemacht hast, mit der einzigen allerdings nicht unwesentlichen Änderung, dass obige Summe, wie Giles schon gesagt hat, nicht abbricht, sondern einfach eine unendliche Reihe darstellt... Und die Berechnung der Binomialkoeffizienten erfolgt auch in gewohnter Weise, also z.B. $\begin{eqnarray} \binom {\frac 34}3 =\frac {\frac 34 \cdot (-\frac 14) \cdot (-\frac 54)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \end{eqnarray}$ Mach einfach für die anderen Binomialkoeffizienten in dieser Weise weiter, und wie gesagt ad infinitum... Edit: Du kannst die Formel $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{(1+x)^3}= \sum_{k=0}^\infty \binom {\frac 34}k x^k \end{eqnarray}$ auch einfach nur als eine sehr komfortable Möglichkeit ansehen, die Taylorreihe der linksstehenden Funktion für den Enwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ zu berechnen, ohne irgendwelche Ableitungen bilden zu müssen...

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