Begründungen und Erweiterungen des Skalarproduktes

18.01.2010, 04:42

Iridium

Begründungen und Erweiterungen des Skalarproduktes

Hallo,

Vielleicht eine seltsame und trivial zu beantwortende Frage:

Ist das Skalarprodukt von Vektoren "nur" eine praktische Definition, oder kann man der Art der Multiplikation (komponentenweises multiplizieren und anschließende Summation) tiefgründigeres abgewinnen?

Wie sähe es rein formal mit einer "Erweiterung" aus, in der komponentenweise exponentiert und anschließend das Produkt gebildet wird (das Ergebnis ist dann unter Vertauschung der Vektoren in der Regel verschieden). Wäre so eine Definition zu irgendwas nütze, oder widerspräche sie aus irgendeinem Grund irgendeiner anderen Definition (bzw. wäre sie an sich sinnvoll, auch wenn man den Nutzen noch nicht kennt?).

Ich stelle mir diese Frage im Zusammenhang mit der Darstellung einer Zahl in irgendeinem Stellenwertsystem (Summe von Produkten der Ziffer mit der Basis in die Potenzen erhoben) und ihrer Primfaktorzerlegung (Produkt von Exponentiationen der Primfaktoren und ihrer Häufigkeit in der Primfaktorzerlegung).

Kennt jemand interessante Literatur, die im weitestmöglichen Sinne irgendwas damit zu tun hat?

Gruß

18.01.2010, 07:34

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Begründungen und Erweiterungen des Skalarproduktes

Zitat:

Original von Iridium
Wie sähe es rein formal mit einer "Erweiterung" aus, in der komponentenweise exponentiert und anschließend das Produkt gebildet wird (das Ergebnis ist dann unter Vertauschung der Vektoren in der Regel verschieden).

Das wäre dann kein Skalarprodukt mehr (auf einem reellen Vektorraum ist ein Skalarprodukt eine symmetrische und positiv definite Bilinearform).
Auf einem unitären Vektorraum ist die Symmetrie zwar auch nicht mehr gegeben, aber ich bezweifle, dass man dort das Potenzieren und anschließende Multiplizieren als Hermitesche und positiv definite Sesquilinearform realisieren kann.

18.01.2010, 07:39

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne als Erweiterung auch nur, statt $\begin{eqnarray*} \langle x, y\rangle = x^Ty \end{eqnarray*}$ zu setzen:
$\begin{eqnarray*} \langle x, y\rangle = x^T A y \end{eqnarray*}$ , wobei A Matrix und als Basistransformationsmatrix aufgefasst werden kann. Aber trotzdem eine sehr interessante Idee, was du da sagst. Es muss ja nicht unbedingt wieder ein Skalarprodukt (nach der Definition) rauskommen.

18.01.2010, 07:44

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern ist das eine "Erweiteung"? Jedes (reelle) Skalarprodukt kann mit einer positiv definiten symmetrischen Matrix so dargestellt werden - diese Matrix heißt dann auch Gram-Matrix des Skalarprodukts (für komplexe Skalarprodukte entsprechend positiv definit und hermitesch).

Man stellt fest, dass auch das Standardskalarprodukt diese Form hat - mit der Einheitsmatrix als Gram-Matrix.

Generell kann man auch jedes Skalarprodukt "in diese Form bringen", denn bezüglich einer Orthonormalbasis hat die Gram-Matrix die Gestalt der Einheitsmatrix. Warum sollte klar sein, wenn man sich die Definition ansieht.

Sei $\begin{eqnarray*} (\mathcal V,\Phi) \end{eqnarray*}$ ein euklidischer Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (_B\Phi^B)_{ij} \end{eqnarray*}$ (Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Gram-Matrix zu $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis B) gegeben durch $\begin{eqnarray*} (_B\Phi^B)_{ij}=\Phi(B_i,B_j) \end{eqnarray*}$ .

18.01.2010, 07:48

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. ich meinte das mit der Erweiterung nicht wörtlich.

18.01.2010, 11:04

jestergast

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft diese Erklärung ja dem Fragesteller weiter.

19.01.2010, 02:01

Iridium

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Ja. ich meinte das mit der Erweiterung nicht wörtlich.

Ich übrigens auch nicht...(mehr an jester gerichtet)...deswegen die Verwendung obskurer und arkaner Symbolik...Gänsefüßchen...um dies anzuzeigen :-).

Zitat:

Original von Duedi
Aber trotzdem eine sehr interessante Idee, was du da sagst. Es muss ja nicht unbedingt wieder ein Skalarprodukt (nach der Definition) rauskommen.

Genau. Ich habe mich auch nur gefragt, ob eine solche, dem Skalarprodukt qualitativ ähnelnde, Rechenvorschrift zu irgendetwas gut sein könnte. Ob es sie vielleicht sogar schon gibt, und ich bloß nicht weiß, unter welchem Namen das läuft (es gibt ja Erweiterungen für alles mögliche...Fakultäten z.B....die dann unter einem ganz anderen Namen laufen).

Letztendlich beruht meine Neugier auf einer, wie ich finde, interessanten "Symmetrie" der Schreibweise einer natürlichen Zahl N als z.B. Dezimalzahl und als Primfaktorzerlegung: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}z_{i}10^{i} = N = \prod_{j=1}^{m} p_{j}^{e_{j}} \end{eqnarray*}$ worin $\begin{eqnarray*} z_{i} \end{eqnarray*}$ die Ziffern in der Dezimaldarstellung und $\begin{eqnarray*} p_{j} \end{eqnarray*}$ die j-te Primzahl sind. Eine Summe von Produkten auf der einen Seite, ein Produkt von Exponentiationen auf der anderen Seite. Die Primzahlen quasi als Basis in einer anderen Art von "Stellenwertsystem".

19.01.2010, 09:16

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht wirklich sehr ähnlich aus. Z. B. ließe sich die Zahl 14 darstellen als
$\begin{eqnarray*} (1,4) \end{eqnarray*}$ (Dezimalstellensystem) oder als $\begin{eqnarray*} (1,0,0,1) \end{eqnarray*}$ (als Primfaktorzerlegung - die k-te Stelle ist die k-te Primzahl - also $\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \end{eqnarray*}$ .

19.01.2010, 11:06

Iridium

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist doch bestimmt schon mal jemand anderen aufgefallen, oder? Mit Primfaktorzerlegung haben sich ja nicht gerade wenige Mathematiker, und auch nicht die schlechtesten, beschäftigt.

19.01.2010, 17:04

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skalarprodukt ist nicht nur komponentenweise multiplizieren und aufsummieren, es ist allgemein durch eine Reihe von Eigenschaften definiert, welche dieses eben ausmachen und zu bestimmten wichtigen Zusammenhängen führen.

20.01.2010, 00:15

Iridium

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rmn
Das Skalarprodukt ist nicht nur komponentenweise multiplizieren und aufsummieren, es ist allgemein durch eine Reihe von Eigenschaften definiert, welche dieses eben ausmachen und zu bestimmten wichtigen Zusammenhängen führen.

Ja, schon klar, das eine Definition des Skalarproduktes viel mehr ist, als eine der möglichen Rechenvorschriften. Aber irgendwer muß das ganze doch zum ersten Mal erfunden haben, welcher Aspekt stand da im Vordergrund? Und bezogen auf meine Frage...wenn man die Rechenvorschrift wie von mir beschrieben abwandelt, ok, dann ist das kein Skalarprodukt im herkömmlichen Sinne mehr, aber ich manipuliere ja trotzdem Vektoren, welche eigene Bedeutung hat die neue Festlegung dann? Wenn ich potenziere und aufmultipliziere kommt am Ende auch ein Skalar raus...sogar zwei verschiedene, wenn ich die Reihenfolge beachte...und wenn ich es auf die Primfaktorzerlegung beziehe, ist es sogar derselbe Skalar, wie beim echten Skalarprodukt aus Stellenwertvektor und Basisvektor.

Ich verstehe schon, daß ein solches Vorgehen erst mal mathematisch kaum motiviert ist, denn was will man mit so einer Rechenvorschrift, wenn es nichts sinnvolles zu berechnen gibt. Außer man findet was...

20.01.2010, 02:35

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt natürlich noch die Art "Erweiterung", bei der man die positive Definitheit in der Definition weglässt. Dann heißt das Objekt (also eine symmetrische bzw. hermitesche Bilinearform bzw. Sesquilinearform) für gewöhnlich nur noch "inneres Produkt", und dazu gibt es sehr viel Literatur. Auch für unendlichdimensionale Räume.

Neue Frage »

Antworten »

Begründungen und Erweiterungen des Skalarproduktes

Verwandte Themen