Einschrittverfahren bei Anfangswertproblem

18.01.2010, 07:27	epsilon>0	Auf diesen Beitrag antworten »
Einschrittverfahren bei Anfangswertproblem Hallo, ich habe folgende Anfangswert-Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme: [attach]13032[/attach] In der VL haben wir Konsistent bezeichnet, wenn die Norm einer Funktion $\begin{eqnarray} F(u_n) \end{eqnarray}$ welche 0 sein soll. zudem ist $\begin{eqnarray} F_{l+1}(u_n)=\frac{u_l-u_{l+1}}{h} - \Phi (x_i,y(x_i);h) \end{eqnarray}$ . Phi ist die Verfahrensfunktion. Ich habe mich schon an der Aufgabe versucht, habe allerdings noch ein paar Verständnisprobleme: Ist alles in eckigen Klammern meine Verfahrensfunktion? Ich habe y'(t)... noch mal abgeleitet und erhalte $\begin{eqnarray} y''(t) = f'(y(t))f(y(t)) \end{eqnarray}$ damit ist g = y'' ? Also könnte ich einsetzen: $\begin{eqnarray} g(u_l + \beta h_l f(u_l)) = (u_l + \beta h_l f(u_l))'' = (y(t) + \beta h_l f(y(t)))'' = y''(t) + \beta h_l f''(y(t)) \end{eqnarray}$ ??? f'' habe ich mir implizit ausgerechnet, durch bilden von y''' und komme dann auf: $\begin{eqnarray} y'''=f''(y(t))y'(t)f(y(t)) + f'(y(t))y'(t)f'(y(t)) = f''(y(t))f(y(t))^2 + f'(y(t))y''(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(y(t)) = \frac{(1-f'(y(t)))y''}{f(y(t))^2} \end{eqnarray}$ Bin ich auf dem Richtigen Weg damit? Wie kann ich dann hier die Norm abschätzen, ich weiß ja schließlich nichts weiter über die Funktion f -> mache alles durch umformen und Einsetzen von y?
18.01.2010, 19:40	epsilon>0	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mich mal weiter informiert und man muss es über Taylor-Entwicklung machen, nachdem man eine Lösung eingesetze hat. Bei mir soll y(t) jetzt mal Lösung der AWA sein, dann erhalte ich durch einsetzen: $\begin{eqnarray} <br /> h_l = t_{l+1}-t_l<br /> u_l = y(t_l) \end{eqnarray}$ einsetzen von $\begin{eqnarray} <br /> y(t)<br /> y(t_{l+1})=y(t_l)+h_l(y'(t_l)+\frac{h_l}2f'(y(t_l)+\beta h_l y'(t_l))f(y(t_l)+\beta h_l y'(t_l))<br /> =y(t_l)+\frac{y'(t_l)}{1!}h_l+\frac{f'(y(t_l)+\beta h_l y'(t_l))f(y(t_l)+\beta h_l y'(t_l))}{2!}{h_l^2}<br /> =y(t_l)+\frac{y'(t_l)}{1!}(t_{l+1}-t_l)+\frac{f'(y(t_l)+\beta h_l y'(t_l))f(y(t_l)+\beta h_l y'(t_l))}{2!}{(t_{l+1}-t_l)^2}<br /> \end{eqnarray}$ Das f'()*f() kann ich ja wie oben gesagt mit y'' ersetzen, aber wie dann weiter?

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