Beweis für Matrix

18.01.2010, 13:05

Sina_Mia

Beweis für Matrix

Hallo,

ich muss ganz dringend folgendes beweisen:
<Tx,Ty>=<x,y>
Wobei T Element O(2) und x,y Element R^2

Wie gehe ich jetzt das Ganze an?

Lg, Sina

18.01.2010, 13:09

tigerbine

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RE: Beweis für Matrix

Zitat:

Wobei T Element O(2)

Was bedeutet das für T?

18.01.2010, 13:15

Sina_Mia

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Ich hab das so verstanden, dass es darum geht, dass die Matrix orthogonal sein soll?!

18.01.2010, 13:17

tigerbine

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Und was bedeutet es, dass eine Matrix orthogonal ist?

18.01.2010, 13:19

Sina_Mia

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Dass die Drehung um 90° passiert ?

18.01.2010, 13:21

tigerbine

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Wir sind in der Linearen Algebra. Da interessieren mich anschauliche Dinge im Moment gar nicht. Ich möchte, dass du einen Blick in die Definition dieser Gruppe wirfst. Tipp: Ich interessiere mich, wie die Inverse von T aussieht.

18.01.2010, 13:25

Sina_Mia

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T^-1 = T^t ?

18.01.2010, 13:27

tigerbine

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Genau.

Nun hast du oben ein Skalarprodukt stehen. Was bedeuten denn die Klammern? Sprich, schreibe das mal aufgelöst hin. Mit LATEX!

$\begin{eqnarray*} \langle Tx, Ty \rangle = ? \end{eqnarray*}$

code:
1:	[l]\langle Tx, Ty \rangle = ?[/l]

18.01.2010, 13:31

Sina_Mia

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$\begin{eqnarray*} <Tx,Ty>= Tx_{1} \cdot Ty_{1}+ Tx_{2} \cdot Ty_{2} \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 13:34

tigerbine

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Tx unf Ty sind auch Vektoren. Bitte einfach nur einmal die Definition (euklidisch) anwenden. So ist doch

$\begin{eqnarray*} \langle x, y \rangle = x^Ty \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \langle Tx, Ty \rangle = ? \end{eqnarray*}$

Bitte auch gleich die Rechenregeln zum Transponieren nachschlagen!

18.01.2010, 13:36

Sina_Mia

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Das, was du da jetzt geschriebe hast mit dem x und y habe ich so noch nie gesehen...

18.01.2010, 13:39

tigerbine

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http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...Matrizenprodukt

18.01.2010, 13:44

Sina_Mia

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Also

$\begin{eqnarray*} <Tx,Ty>= Tx_{1}^{T} *Ty_{1} + Tx_{2}^{T} *Ty_{2} \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 13:46

tigerbine

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Nein, ich sagte doch TX, Ty zusammen lassen. Und einfach nur einsetzen.

18.01.2010, 13:51

Sina_Mia

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So:
$\begin{eqnarray*} <Tx,Ty>= Tx^{T} Ty \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 13:56

tigerbine

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Nein. Tx muss doch dann natürlich in Klammern stehen, damit das ^T auf alles angewendet wird.

$\begin{eqnarray*} \langle Tx,Ty \rangle =(Tx)^{T} Ty = ? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bitte auch gleich die Rechenregeln zum Transponieren nachschlagen!

18.01.2010, 13:59

Sina_Mia

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= x^T * Ty

18.01.2010, 14:00

tigerbine

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Nein. Wo ist die T-Matrix hin?

18.01.2010, 14:03

Sina_Mia

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Ne gekürzt it dem x^T

18.01.2010, 14:05

tigerbine

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Bitte mach einfach nur, was ich sage. Noch gibt es nichts zu kürzen. T war eine Matrix. ^T bedeutet transponieren. Bitte einfach nur mal

$\begin{eqnarray*} (Tx)^T = ? \end{eqnarray*}$

hinschreiben.

18.01.2010, 14:11

Sina_Mia

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=T^T * x^T

18.01.2010, 14:12

tigerbine

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Eben nicht! Hast du wirklich die Regeln nachgeschlagen?

18.01.2010, 14:16

Sina_Mia

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laut wiki:

de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29#Die_transponierte_Matrix

18.01.2010, 14:18

tigerbine

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Willst du wiki nicht lieber nochmal lesen... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (A \cdot B)^T &= B^T \cdot A^T \end{eqnarray*}$

Und damit ist

$\begin{eqnarray*} (Tx)^T = ? \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 14:24

Sina_Mia

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Meiner Meinung nach ist das ausgeklammert genau dasselbe, also wie gesagt T^T multipliziert mit x^T

18.01.2010, 14:26

tigerbine

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Warum haben die bei Wiki wohl die Reihenfolge vertauscht? Und warum meinst du, das nicht machen zu müssen? Wer hat gesagt, dass bei Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetz gilt? Augenzwinkern

18.01.2010, 14:27

Sina_Mia

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Ach so. entschuldige...

also x^T * T^T ?!

18.01.2010, 14:33

tigerbine

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Endlich. Langsam würde ich nämlich mal gerne zu Mittag essen. Wir haben nun also

$\begin{eqnarray*} \langle Tx, Ty \rangle =x^TT^TTy \end{eqnarray*}$

Nun erinnern wir uns an meine Frage vom Anfang.

Zitat:

Mit dem Assoziativgesetz ist die Aufgabe dann fertig. Denn du hast ja schon gelernt

$\begin{eqnarray*} \langle x, y \rangle = x^Ty \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 14:42

Sina_Mia

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$\begin{eqnarray*} \langle Tx, Ty \rangle =x^TT^TTy \end{eqnarray*}$

= x^T (T^T*T)y
= Skalar von xy * (T^T*T)

18.01.2010, 14:43

tigerbine

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Denk da nochmal drüber nach. Du hast das richtige eingeklammert. Aber nix daraus gemacht... Ich gehe nun essen. Wink

18.01.2010, 14:47

Sina_Mia

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Naja, wir haben somit das Skalar von x,y, was wir ja haben wollten und T^T * T, also sozusagen (T^T+1)=(T^T)^T=T...
aber das wollten wir ja weghaben... unglücklich

18.01.2010, 15:03

Sina_Mia

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Ach neee...

also:

$\begin{eqnarray*} x^{T} \left(T^{T}T\right) y = x^{T} y \left(T^{T}T\right) = <xy> \end{eqnarray*}$ denn:

$\begin{eqnarray*} T^{T} T = T^{-1}\cdot T^{1}=T^{0} \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 15:08

tigerbine

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Was kommt denn raus, wenn man Matrix und ihre Inverse Multipliziert. Wie heißt diese Matrix?

18.01.2010, 15:08

Sina_Mia

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Einheitsmatrix

18.01.2010, 15:09

tigerbine

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Bingooooo!

$\begin{eqnarray*} \langle Tx, Ty \rangle =x^TT^TTy = x^TIy = ? \end{eqnarray*}$

Und was ist Iy=?

18.01.2010, 15:10

Sina_Mia

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Na damit es aufgeht müsste das gleich y sein?!

18.01.2010, 15:11

tigerbine

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: Das ist ja mal kein Argument. "Was passt wird passend gemacht"

18.01.2010, 15:13

Sina_Mia

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ja, aber stimmt es denn?

18.01.2010, 15:15

tigerbine

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Das ist die Frage. Suche in deinen Unterlagen nach der Antwort. Augenzwinkern

18.01.2010, 15:18

Sina_Mia

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Na da ich ja beweisen soll, dass es dassele ist und es sicher auch dasselbe ist, und wir das Skalarprodukt als x^t*y definiert haben, muss Iy ja gleich y sein?

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