Ausführen einer Riemann-Integration

18.01.2010, 14:26

Graf_Love

Ausführen einer Riemann-Integration

(Ich bin Erstsemester)
Das (recht simple) Prinzip einer Riemann-Integration habe ich verstanden.

Nun sollen wir eine Funktion nach Definition des Riemann-Integrals integrieren - und da fangen die Probleme an.
Ich habe ein Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^b f(x) \end{eqnarray*}$ (natürlich ist f(x) gegeben und auch riemann-integrierbar, aber ich will ja keine fertigen Lösungen ;-)), doch mir ist nicht klar, wie ich vorgehen soll!
Soll ich die Ober- und Untersummen für $\begin{eqnarray*} x \in \{ 0, \frac{b}{2}, b \} \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann noch einmal verfeinern und dann die Verfeinerung gegen unendlich laufen lassen und bei Ober- und Untersumme den gleichen Wert hinschreiben, den Wert, den ich mittels des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet habe? Denn das wäredoch nicht wirklich nach Definition des Riemann-Integrals...

Bitte helft mir! :-)

lg

EDIT: Habe über die SuFu ncihts gefunden, finde ich vielleicht auf einer anderen Seite eine Beispielrechnung für ein Riemann-Integral?

18.01.2010, 14:52

klarsoweit

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RE: Ausführen einer Riemann-Integration

Zitat:

Original von Graf_Love
Soll ich die Ober- und Untersummen für $\begin{eqnarray*} x \in \{ 0, \frac{b}{2}, b \} \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann noch einmal verfeinern und dann die Verfeinerung gegen unendlich laufen lassen

Im Prinzip ja.

Zitat:

Original von Graf_Love
und bei Ober- und Untersumme den gleichen Wert hinschreiben, den Wert, den ich mittels des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet habe?

Du mußt eben den Wert bestimmen, den du mittels einer "unendlichen Verfeinerung" erhältst. Der müßte dann mit dem Wert aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung übereinstimmen.

18.01.2010, 15:59

Graf_Love

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Hm, ok, danke.

Mein Integral, das ich bestimmen soll, ist $\begin{eqnarray*} \int_0^b x^2 \end{eqnarray*}$ .
Ich habe nun Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} ( \frac{b}{n} * \sum_{k=1}^n (( \frac{k}{n} * b )²) \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Rechtecke nach Riemann,
$\begin{eqnarray*} ( \frac{k}{n} * b )² \end{eqnarray*}$ die Höhe der Rechtecke $\begin{eqnarray*} (f( \frac{k}{n} * b)) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \frac{b}{n} \end{eqnarray*}$ die Breite der Rechtecke ist.

Das kann ich durch herausziehen der Konstanten auf

$\begin{eqnarray*} b^3 * \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \sum_{k=1}^n k^2}{n^3} \end{eqnarray*}$

Durch den Hauptsatz der Integralrechnung weiß ich ja, dass der Limes 1/3 sein muss, damit das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{b^3}{3} \end{eqnarray*}$ ist.

Kann mir jemand einen Anstoß geben, wie ich bei der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{n^3} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ komme? unglücklich

18.01.2010, 16:06

klarsoweit

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Für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Formel. Schau mal auf Wiki.

18.01.2010, 16:28

Graf_Love

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Ich schau mal nach - aber ich kenne eine Formel eigentlich nur bei der geometrischen Reihe für q < 1, aber das ist k ja nicht - es ist auch nicht konstant. Hier kommt doch nur durch n³ im Nenner als Ergebnis 1/3 raus! $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \end{eqnarray*}$ divergiert doch, muss also $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ergeben!

EDIT: Sorry, habe übersehen, dass du die Summe bis n begrenzt, wie in meinem Vorletzten Schritt. D.h. ich komme über eine Formel auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n^3}{3} \end{eqnarray*}$ ?

Finde die Formel in Wikipedia nicht! verwirrt

Danke schonmal für die bisher großartige Hilfe Freude

EDIT 2:Was ich finde ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ , aber nichts für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k^a \end{eqnarray*}$

EDIT 3: Hab's gefunden, war auf Wikipedia verlinkt! Somit ist die Aufgabe gelöst! Vielen vielen vielen lieben Dank! Gott