Untersuchung von Exponentialfunktionen

18.01.2010, 15:11

Mathe = ?

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Untersuchung von Exponentialfunktionen

Halle alle zusammen!!

Ich habe da ein Problem. Ich weiß leider nicht mehr weiter.
Die Aufgabe lautet:

Der Verlauf des Trageseils einer Hängebrücke kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph der funktion
f a;c(x) = a/2c (e hoch cx + e hoch -cx) mit a,c > 0, x in Metern, y in Metern.

a) Untersuche Sie den Graphen von f a;c auf Symmetrie.
b) Berechnen Sie das Minimum der Funktion f a;c
c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5 m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch sind.
d) Welches Gefälle in Prozent haben die Seile in den Aufhängepunkten?
e) An welchen Stellen befindet sich das Seil ca. 15 m über der Fahrbahn?
f) Wo könnte ein Stuntman das Seil mit einem Motorrad befahren, wenn er noch eine Steigung von 20 % bewältigen kann?

Puuuuuuuh

Also a) ist einfach
Die Fkt. ist gerade weil f(x) = f(-x) ist

b) bin ich auch relativ weit gekommen
Dafür brauche ich die Ableitung
die dann f a;c '(x) = a/2 ( e hoch cx - e hoch -cx)
das kann man dann spalten
0 = a/2 v. 0= e hoch cx -e hoch -cx
wobei 0 = a/2 wegfällt, das a nicht 0 0 sein kann.
ja da habe ich schon das erste Problem 0 = ( e hoch cx - e hoch -cx)
ich weiß, dass man da mit dem ln also logarithmus arbeiten muss aber wie?
Kann mir jmd helfen?

18.01.2010, 15:19

tyger

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Du schreibst:
"0 = ( e hoch cx - e hoch -cx)"
Vielleicht kann man diese Gleichung mit $\begin{eqnarray*} e^{c*x} \end{eqnarray*}$ multiplizieren
und dann weiterrechnen?
tyger

18.01.2010, 15:37

Kathz

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Ja ich hab das so weitergeführt

0 = e hoch cx - e hoch -cx | + e hoch -cx

e hoch -cx = e hoch cx | ln

durch ln löst sich das e auf

-cx = cx
weiter weiß ich auch nicht mehr -.-

18.01.2010, 15:39

Kathz

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
obwohl kann es sein, dass für c = -2 rauskommt?

18.01.2010, 15:58

Mulder

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Für c kommt gar nichts raus, das ist ein fester Parameter. Deine Veränderliche ist x. Gesucht ist also nur der Wert für x, für den die Ableitung null wird. Du hast doch alles richtig gemacht.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{a}{2}(e^{cx}-e^{-cx}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{a}{2}(e^{cx}-e^{-cx})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{cx}-e^{-cx}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cx=-cx \end{eqnarray*}$

Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist das erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ ist nach Voraussetzung?

18.01.2010, 19:01

Kathz

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
ja für die cx dann nur, weil ja c > 0 sein soll.
Nun ja und wie soll ich dann die Minimum bestimmen?

Min. (cx/ f a;c (cx))?

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18.01.2010, 19:14

Mulder

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Kathz
ja für die cx dann nur, weil ja c > 0 sein soll.

verwirrt

Du solltest nochmal in Ruhe darüber nachdenken, was hier eigentlich gemacht wurde. Du hast die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_{a,c}(x) \end{eqnarray*}$ bestimmt. Klammer dich nicht so an dem a und dem c fest, das sind nur irgendwelche Zahlen. Es geht hier um das x, das ist deine Variable. Du hast nun die Ableitung gleich null gesetzt, das heißt, du brauchst den Wert für x, für den die Ableitung null wird.

Angefangen sind wir mit: $\begin{eqnarray*} f'_{a,c}(x) = \frac{a}{2}(e^{cx}-e^{-cx}) = 0 \end{eqnarray*}$

Nach einigen Umformungen führte uns das zu:

$\begin{eqnarray*} cx = -cx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist. Wichtig ist hierbei zunächst nur, dass $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt wollen wir den Wert für x wissen, für den $\begin{eqnarray*} cx = -cx \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Das hat nur eine Lösung. Welche?

Wie würdest du denn das x finden, wenn da zum Beispiel das hier stünde?

$\begin{eqnarray*} 2x = -2x \end{eqnarray*}$

Welchen Wert muss x haben, damit das gilt? Und mit dem c verhält es sich dann doch genauso. Ob da eine 2 oder ein c steht, ist doch völlig egal dabei. Nochmal: Das ist doch nur irgendeine Zahl.

18.01.2010, 19:24

Kathz

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Boah ich habe gerade ein Brett vorm Kopf...
ALso dann würde ich mal sagen

cx= -cx | +c
2cx = x | :x??

18.01.2010, 19:31

Mulder

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Zitat:

Original von Kathz
Boah ich habe gerade ein Brett vorm Kopf...

Ja, das würde ich mal unterschreiben. Da ich nicht weiß, wie ich es jetzt noch erklären soll, knall ich dir die Lösung hin, dann kannst du weitermachen.

$\begin{eqnarray*} cx = -cx \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollte man sofort sehen, welchen Wert x haben muss. Aber wenn nicht, dann teilt man eben auf beiden Seiten durch c. Da ja c>0 ist, dürfen wir das auch ohne Probleme machen. Dann bleibt stehen:

$\begin{eqnarray*} x=-x \end{eqnarray*}$

Dass das nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt, sollte man sehen.

So, die einzige Extremstelle von f liegt also bei x=0. Jetzt kannst du weiter machen.

18.01.2010, 19:39

Kathz

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Oh man..... -.-
schuldige smile

smile

Dankeschön. Das ist jetzt peinlich -.-
Hast du denn Lust bei der Aufgabe weiter zuhelfen?
Nur wenigsten die c, weil dann geht der rest ja relativ schnell, weil ja die Aufgabenteile d) - f) mit der in c) berechneten fkt. gelöst wird.

Ich weiß ja, dass die aufhängepkt einen abstand von 200 m haben und selbst 30 m hoch sind. der tiefste punkt liegt bei 5m. Aber mehr weiß ich auch nicht ein Tipp könnte mir da weiter helfen

18.01.2010, 19:56

Mulder

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Der tiefste Punkt ist ja gerade das Minimum von f, stimmst du mir da zu? Das Minimum liegt ja bei x=0. Hast du denn den Extrempunkt im Ganzen schon bestimmt? Da haben wir ja gefunden:

$\begin{eqnarray*} \text{TP} = \left ( 0 \, \, | \, \, f(0) \right ) \end{eqnarray*}$

Hast du f(0) denn schon berechnet? Das brauchen wir hier.

Su, ausgehend davon, dass das Minimum ja gerade die "Mitte" der Brücke ist, können wir noch zwei weitere Funktionswerte ablesen. Welche nämlich? Der Abstand der beiden Aufhängepunkte hilft hier weiter.

18.01.2010, 20:00

Kathz

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Ja habe für fa;c (0) = a / 2c * 2

weiter kommt man da ja nicht, weil a und c nicht gegeben sind.
Und ja man kann die am Rand befindende Maxima ich bestimmen

die befinden sich dann 100 m von der Mitte entfernt, sowohl rechts auch links und sind 30 m hoch

18.01.2010, 20:04

Mulder

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Zitat:

Original von Kathz
Ja habe für fa;c (0) = a / 2c * 2

weiter kommt man da ja nicht, weil a und c nicht gegeben sind.

Richtig, wir haben also den Tiefpunkt: $\begin{eqnarray*} \text{TP} = \left ( 0 \, \, | \, \, \frac{a}{c} \right ) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kathz
die befinden sich dann 100 m von der Mitte entfernt, sowohl rechts auch links und sind 30 m hoch

So steht's in der Aufgabe, ja. Magst du nun mal versuchen, daraus zwei Bedingungen an f zu formulieren?

18.01.2010, 20:15

Kathz

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Boah ganz ehrlich. Ich weiß gerade nicht, was du von mir willst -.-

f = 0 erste bed. ?

18.01.2010, 20:26

Mulder

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Schau mal, wir müssen doch dem Aufgabentext irgendwelche Informationen entnehmen, damit wir die erforderlichen Werte für die Parameter a und c finden können. Wir sind nach wie vor bei:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{a}{2c}(e^{cx}+e^{-cx}) \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir ja eine kleine Skizze schon mal ein wenig weiter.

[attach]13044[/attach]

Wir wissen, wie hoch das Seil jeweils 100 Meter von der Mitte entfernt hängt (sowohl rechts, als auch links). Unser f macht doch im Grunde nichts anderes, als die Höhe des Seils (der Funktionswert f(x)) in Abhängigkeit vom Abstand x von der Mitte anzugeben. Versuch doch mal, das anzuwenden.

18.01.2010, 20:40

Kathz

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Ich glaube ehrlich gesagt, dass das für mich hier kein Sinn mehr macht. Irgendwie stehe ich mir da selbst im Weg. Ich versuch es mit klarem Kopf morgen nochmals. Bedanke mich herzlich.
Und danke, auch dass du den Nerv dazu hattest mir das zu erklären.
Ich weiß leider nicht wie ich das gut machen kann.
Vielen vielen Dank

18.01.2010, 20:45

Mulder

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Ich glaube, du denkst einfach zu kompliziert. Da steckt nicht viel hinter. Wenn im Abstand von 100m von der "Mitte" die Höhe 30m beträgt, heißt das einfach nur, dass:

$\begin{eqnarray*} f(100)=30 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2c}(e^{100c}+e^{-100c})=30 \end{eqnarray*}$

Analog interpretiert man die Lage des Extrempunktes. Dann kann man eine Aussage über a/c fällen und das auch einsetzen.

18.01.2010, 21:03

Kathz

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RE: Untersuchung von Exponentialfunktionen
Ganz ehrlich. Das habe ich mir auch gedacht. es war mir jedoch zu simpel. Ab hier weiß ich dann auch weiter dankeschön smile

smile

Erst recht danke für deine Geduld smile

smile

sowas bringen Mathematiker nicht immer mit.

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