Abschätzung Summe aus Wurzel

18.01.2010, 16:35

Kalli2671990

Abschätzung Summe aus Wurzel

Also meine Aufgabe lautet:

Beweisen oder widerlegen sie die Konvergenz der Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n} }{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Also ich bin so weit:

Das ist ja das gleiche wie: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n} } - 1) \end{eqnarray*}$

Jetzt Cauchy Verdichtungskriterium:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (2^{k}\cdot\frac{\sqrt{2^{k}+1}}{\sqrt{2^{k}} } - 2^{k}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^{2k} + 2^{k}}-2^{k} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^{k}} \end{eqnarray*}$ kürzen und unter die Wurzel ziehen)

Man sieht ja offensichtlich, dass die Folge divergiert, mir fehlt nur die letzte Abschätzung.

Mfg Kalli

18.01.2010, 16:45

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Divergenz ist richtig, aber Verdichtungskriterium? Hier sehr ungewöhnlich - aber warum nicht, wenn's klappt.

Ich würde ja eher mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ erweitern und dann durch die harmonische Reihe minorisieren.

18.01.2010, 16:57

Kalli2671990

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Also wenn man das mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ erweitert, dann ergibt sich, ja nach vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}+n} \end{eqnarray*}$ und das ist doch immer kleiner als die harmonische Reihe. Bringt uns doch dann nichts wenn wir sagen, dass das keliner ist als eine Reihe die divergiert. Würde uns doch nur was bringen wenn es größer als eine divergierende Reihe ist, oder?

Mfg Kalli

18.01.2010, 17:04

Mystic

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Zitat:

Original von Kalli2671990
Würde uns doch nur was bringen wenn es größer als eine divergierende Reihe ist, oder?

Ja tatsächlich, wenn z.B. das n unter Wurzel ein $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ wäre, das wäre alles viiiel einfacher, aber so... unglücklich

18.01.2010, 17:08

Kalli2671990

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welches n unter welcher Wurzel?

War da ein Fehler beim Umformen, im Lösungsvorschlag oder war das eine "nichtzielbringende" Bermerkung :-)

Mfg Kalli

18.01.2010, 17:17

Mystic

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Schau, du willst doch eine divergente Minorante, oder? Also ersetz doch einfach in deinem Endausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

das n unter Wurzel durch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ... Sollte das wieder "nichtzielbringend" sein, dann vergiss es einfach... geschockt

Edit: Wenn dir Wurzeln überhaupt ein Graus sind, kannst auch mit der Abschätzung

$\begin{eqnarray*} n^2+n <(n+1)^2 \le (2n)^2 \end{eqnarray*}$

weiterarbeiten, ist reine Geschmackssache...

18.01.2010, 17:29

Kalli2671990

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Also, erstmal Entschuldigung, falls du dich durch die Bemerkung angegriffen gefühlt hast Augenzwinkern

. Aber ich denk das hat mir geholfen^^.

Wir haben ja durch Umformen folgende Form: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}+n} \end{eqnarray*}$

Wenn man das n durch ein $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann mache ich den ganze Ausruck kleiner (wodurch ich meine Minorante bekomme. Durch Umformen komme ich dann auf das Ergebnis, dass das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}+1} \end{eqnarray*}$ mal die harmonische Reihe ist, welche ja divergiert.

18.01.2010, 17:53

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Zitat:

Original von Kalli2671990
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}+n} \end{eqnarray*}$ und das ist doch immer kleiner als die harmonische Reihe

Hab ich gesagt, dass du gegenüber $\begin{eqnarray*} \frac{C}{n} \end{eqnarray*}$ abschätzen sollst? Versuch's doch mal mit einer simplen Verschiebung, d.h. gegenüber $\begin{eqnarray*} \frac{C}{n+1} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Es gibt da sooo viele Möglichkeitem (Mystic hat ja eine andere genannt), da muss man sich mal etwas strecken, statt nach einem Fehlschlag (wie der divergierenden Majorante) gleich die Segel zu streichen.

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