Taylorentwicklung

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18.01.2010, 19:40	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung Hallo, wir haben heute in der Vorlesung mit dem Theam Taylorentwicklung begonnen. Ich dachte, ich hab die Sache soweit verstanden. Aber als ich mal eine Übungsaufgabe rechnen wollte, hatte ich dann doch Probleme. Ich soll die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^4}{\sqrt(2-x)} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{0}=0 \end{eqnarray}$ entwicklen Also was ich jetzt zeigen muss ist, dass f unendlich oft ableitbar ist. Für die n-te Ableitung eine Vorschrift angeben und dann muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} R_{n}(x)=0 \end{eqnarray}$ Aber irgendwie scheiter es bei mir schon daran, wie ich $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) \end{eqnarray}$ ausdrücken soll. Aber das brauche ich ja gerade, damit ich auch das Restglied angeben und es gegen unendlich gehen lassen kann. Kann mir evtl. jemand einen Tipp geben? Ich versuch dann alleine weiter zu machen. Grüße Bullet1000
18.01.2010, 19:59	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die Binomische Reihe? $\begin{eqnarray} (2-x)^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}(1-\frac{x}{2})^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$
18.01.2010, 20:46	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, ja klar kenn ich die Formel. Da wäre dann $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt(2)x^4(1-\frac{x}{2})^{-1/2} \end{eqnarray}$ Jetzt wäre etwa $\begin{eqnarray} f'(x)=2\sqrt(2)x^3(1-\frac{x}{2})^{-1/2}+4\sqrt(2)x^4(1-\frac{x}{2})^{-3/2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'''(x)=12\sqrt(2)x(1-\frac{x}{2})^{-1/2}+\frac{9}{2}\sqrt(2)x^2(1-\frac{x}{2})^{-3/2}+\frac{9}{8}\sqrt(2)x^3(1-\frac{x}{2})^{-5/2}+\frac{15}{128}\sqrt(2)x^4(1-\frac{x}{2})^{-7/2} \end{eqnarray}$ So, jetzt will ich die n-te Ableitung wissen, damit ich das Restglied bestimmen kann. Wahrscheinlich wird es irgendwie über den Binominalkoeffizienten gehen.
18.01.2010, 20:57	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sagtest doch du kennst die Formel? $\begin{eqnarray} (2-x)^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}(1-\frac{x}{2})^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{-\frac{1}{2}}{n}(-\frac{x}{2})^{n} \end{eqnarray}$ und zwar absolut und gleichmäßig für $\begin{eqnarray} \| \frac{x}{2}\|<1 \end{eqnarray}$ Was ist also nun die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ?
18.01.2010, 21:01	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie irritiert mich noch dieses $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ , was noch damit verbunden ist. Das spielt doch sicherlich auch noch mit rein. Es reicht nicht aus nur den binomischen Term anzuschauen. Also im Seminar hatten wir das für den Fall $\begin{eqnarray} g(x)=(1+x)^{\alpha} \end{eqnarray}$ gemacht. Da hatten wir die Ableitung $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) \end{eqnarray}$ bestimmt, dann das Taylorpolynom und das Restglied aufgeschrieben und gezeigt, dass letzteres gegen Null konvergiert. So ähnlich müsste das doch hier auch ablaufen, oder?
18.01.2010, 21:12	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eigentlich eine gute Übung für dich dir jetzt einmal zu überlegen, warum man es hier so machen kann wie ich gerade, d.h. nur die eine Funktion zu entwickeln und dann mit absoluter Konvergenz die andere herein zu ziehen.
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18.01.2010, 21:20	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber wir haben doch noch garnichts entwickelt. Noch nicht mal eine ABleitung gebildet. Warum darf ich das jetzt einfach so machen? Also die Sache mit dem binomischen Satz ist mir klar. Warum ich jetzt die Funktion $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ mit reinziehen kann ist mir noch unklar. Aber das ist schon mal ganz gut. Damit muss ich nur noch eine Reihe betrachten.
18.01.2010, 21:39	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was jetzt noch zu klären ist, wäre: Warum kann man zur Bestimmung des Konvergenzradius' von $\begin{eqnarray} \frac{x^4}{\sqrt{(2)}} \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty\dbinom{-\frac{1}{2}}{n}\left(-\frac{x}{2}\right)^n \end{eqnarray}$ gleich den $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ -Term vernachlässigen? Und in wiefern mache ich jetzt weiter hinsichtlich meiner Taylorentwicklung? Leite ich jetzt einfach diese Potenzreihe $\begin{eqnarray} n-mal \end{eqnarray}$ ab? Ach nee... moment mal. Was hier dasteht ist ja quasi schon ein Taylorpolynom, welches für $\begin{eqnarray} \left\|\frac{x}{2}\right\|<1 \end{eqnarray}$ konvergiert. Damit hätte sich die letzte Frage schon erledigt. Liegt es vielleicht daran, weil mein Entwickluingspunkt bei Null liegt?
18.01.2010, 22:52	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das soweit?
18.01.2010, 23:04	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist hier wenn man es ausmultipliziert schon ein Taylorpolynom und es geht hier eben so gut, weil du um $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ entwickelst. Jetzt hast du eine Taylorreihe gefunden und du kannst dir überlegen, dass die identisch mit der Taylorreihe der Funktion f sein muss, da die Koeffizienten durch die Funktion eindeutig festgelegt sind. Das "Problem" ist jetzt der Konvergenzradius. Es ist möglich dass wir diesen Trick mit einem etwas kleineren Konvergenzradius bezahlt haben. Ein hinreichendes Kriterium wäre jetzt zu checken, ob die Reihe für $\begin{eqnarray} \|x\| \geq 2 \end{eqnarray}$ überhaupt konvergiert. Wenn nicht, dann ist das der maximale Konvergenzradius und es konvergiert sicher gegen f (warum?). Dieser Trick hat jetzt allerdings auch Vorteile: abgesehen davon, dass man es sich sparen kann die (nicht-triviale) Induktion für die n-te Ableitung zu suchen, ist es außerdem schonmal sicher, dass diese Reihe glm. konvergiert, was für viele Berechnungen unbezahlbar ist.
18.01.2010, 23:09	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, danke Mal so nebenbei... kennst du die Induktion für die n-te Ableitung?
18.01.2010, 23:14	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe versucht eine zu finden, aber im Nenner wächst ein Polynom an, für dessen Koeffizienten ich keine geeignete Formel sehe. Mein Schluss daraus war dann, dass der Sinn der Aufgabe nur sein kann, es auf diese hier Weise zu machen.
18.01.2010, 23:18	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also ich hab auch ewig daran gesessen und versucht eine Vorschrift für die n-te ABleitung zu finden. Vielen Dank nochmal für den Tipp mit der binomischen Formel.

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