Verschoben! Untervektor?

18.01.2010, 20:31

John007

Untervektor?

Bei dieser Aufgabe bring ich garnicht zam traurig

Im R³ ist folgende Teilmenge gegeben:

T = { $\begin{eqnarray*} \vec{a} \in R³ | \vec{a}=(a_1,a_2,a_2), a_1+a_2+a_2=0 \end{eqnarray*}$ }

Gesucht ist der Untervektorraum?

I check da gar nix

18.01.2010, 20:51

genossetom

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RE: Untervektor?
Erinnert dich a1 + a2 + a3 = 0 an etwas?

18.01.2010, 20:54

John007

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RE: Untervektor?
meinst damit xyz oder was ?

18.01.2010, 21:05

genossetom

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RE: Untervektor?
Entschuldige, meine erste Antwort war nicht sehr hilfreich - hatte etwas vorschnell geantwortet und deine Frage etwas missverstanden.

Genaugenommen ist hier unklar: sollst du zu diesem Vektorraum einen Untervektorraum angeben oder sollst du vielmehr zeigen, dass die von dir angegebene Menge ein UVR des R3 ist?

18.01.2010, 21:07

John007

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RE: Untervektor?
Ich soll zeigen ob das ein UVR ist oder nicht

18.01.2010, 21:12

genossetom

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RE: Untervektor?
Okay, das macht Sinn. Du musst jetzt die Vektorraumkriterien für diese Vektormenge prüfen. D.h. die Addition (mit Nullelement, Gegenelement, AG und KG) und die Multiplikation (mit DG, AG und neutralem Element).

18.01.2010, 21:18

John007

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RE: Untervektor?
Vektorraumkriterien was ist das

Was ist AG KG DG AG?

18.01.2010, 21:29

Mulder

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RE: Untervektor?
Es geht doch darum, ob es ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist. Dafür ist es nicht nötig, sämtliche Vektorraum-Kriterien zu überprüfen, das ist ziemlich viel Aufwand.

Du kannst annehmen, dass der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist. Und nun untersuchst du, ob die Teilmenge T ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist. Dazu müssen die folgenden drei Kriterien für T untersucht werden:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{i}) \, \, T \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ (T ist nicht leer)

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ii}) \, \, b+c \in T \, \, \forall b,c \in T \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit bezüglich Addition)

$\begin{eqnarray*} \operatorname{iii}) \, \, \lambda a \in T \, \, \forall a \in T, \lambda \in K \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation mit einem Skalar aus einem Körper K.

Das steht so auch sicher in eurem Skript. Wir können hier nicht deine Vorlesung ersetzen.

PS: Mit "AG KG DG" ist sicher Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz gemeint.

Edit: Ich sehe gerade, dass die Wahl der Bezeichnung der beiden Elemente bei ii) unglücklich gewählt ist, weil die Komponenten schon so genannt wurden. Den Fragesteller scheint das zu verwirren. Ich ändere das etwas um.

18.01.2010, 21:31

genossetom

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RE: Untervektor?
Oje John, wie kommst du zu der Aufgabe, wenn dir die Vektorraumkriterien nicht bekannt sind?

Also: du hast hier eine Menge von Elementen, hier sind das Vektoren. Allerdings Vektoren mit einer bestimmten Eigenheit, nämlich der, dass die drei Koordinaten zusammengezählt Null ergeben.

Jetzt musst du prüfen, ob die Addition zweier solcher Elemente wieder ein Element des Raumes ist, also:

Hast du einen Vektor a aus T und einen Vektor b aus T, ist dann a + b wieder ein Element von T?

Nun fehlt ein Nullelement o: gibt es ein o aus T, so dass a+o = a ergibt.

Weiter: gibt es ein Gegenelement -a zu a, so dass a + (-a) = 0 ergibt.

Gelten das AG und das KG, also das Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c, und das Kommutativgesetz a + b = b + a.

Versuche das einmal zu prüfen, danach müssen wir die Multiplikation überprüfen. Falls unklar, gleich sagen.

18.01.2010, 21:34

genossetom

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RE: Untervektor?
Mulder hat natürlich Recht: ein Untervektoraum ist so schneller gezeigt.

Allerdings fehlen hier wohl einige Grundlagen.
Ohne den Vektorraum verstanden zu haben wird es schwierig, von diesem auf den Untervektorraum zu kommen.

18.01.2010, 21:45

John007

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RE: Untervektor?
Ja das steht da

Aber mein Problem is ja was ich da machen soll?? traurig

18.01.2010, 21:51

genossetom

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RE: Untervektor?
Okay, kurze Version nach Mulder oder einmal die Vektorraumaxiome insgesamt prüfen?

18.01.2010, 21:51

Mulder

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RE: Untervektor?
Einfach die drei Kriterien überprüfen. Zum Beispiel zum ersten Kriterium: Überprüfe doch mal, ob der Nullvektor in T liegt.

Ein Vektor der Form $\begin{eqnarray*} \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt ja nach Definition der Menge genau dann in T, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3=0 \end{eqnarray*}$ . Nun sieh dir den Nullvektor an:

$\begin{eqnarray*} \vec 0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erfüllt der diese Bedindung? Wenn ja, liegt der Nullvektor in T und T ist nicht leer (enthält also mindestens ein Element).

Edit: Ich übergebe besser wieder an genossetom, der war zuerst da. Augenzwinkern

18.01.2010, 21:55

John007

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RE: Untervektor?
Das hab ich jetzt verstanden

ich probiersmal

18.01.2010, 22:26

John007

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RE: Untervektor?
ja 0+0+0+=0 das geht noch aber
für ii

$\begin{eqnarray*} a_{1} + a_{2} \in T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{2} + a_{3} \in T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3} + a_{1} \in T \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} \exists a_1, a_2,a_3 \in T \end{eqnarray*}$

ist das so richtig

18.01.2010, 22:42

genossetom

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RE: Untervektor?
Du musst hier aufpassen, dass du die a1 und a2 nicht verwechselst. Im Beitrag von Mulder, in dem er die zu prüfenden Bedingungen für den Untervektorraum angibt, sind a1 und a2 zwei Vektoren, nicht die Koordinaten des Vektors a.

Bei ii musst du prüfen, ob die Addition zweier Elemente aus t - nenne diese vielleicht besser $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ - wieder ein Element aus T ergeben.

Für $\begin{eqnarray*} \vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt: a1 + a2 + a3 = 0. Genauso gilt für $\begin{eqnarray*} \vec{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ : b1 + b2 + b3 = 0.

Prüfe nun, ob für $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auch gilt, dass das entstehende Element zur Menge T gehört.

18.01.2010, 22:54

John007

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RE: Untervektor?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =0 ist dan das die Lösung oder wie

18.01.2010, 23:02

genossetom

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RE: Untervektor?
Vorsicht: wenn a1 + a2 + a3 = 0 sind, heißt dies noch lange nicht, dass a1= 0, a2 = 0 und a3 = 0 ist. Z.B. gehört der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{d}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auch zur Menge T, da 3 + (-4) + 1 = 0 ist.

Du machst nun folgendes:
Nimm zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 + a_2 + a_3 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_1 + b_2 + b_3 = 0 \end{eqnarray*}$ . Diese beiden Vektoren gehören also zu T.

Bilde nun die Summe:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h. dass du nun einen neuen Vektor hast. Um zu prüfen, ob dieser neue Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu T gehört, musst du überprüfen, ob die Summe seiner Komponenten Null ergibt, also ob $\begin{eqnarray*} (a_1+b_1) + (a_2+b_2) + (a_3+b_3) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ist dies der Fall, so ist Bedingung ii erfüllt. Willst du es probieren?

18.01.2010, 23:10

John007

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RE: Untervektor?
$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das hab ich eigentlich damit gemeint aber wie soll ich es dan überprüfen wen das so nicht geht

18.01.2010, 23:21

genossetom

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RE: Untervektor?
Damit ein Element zu deinen Vektorraum gehört, muss die Summe seiner Koordinaten Null sein, nicht die Summe zweier Elemente.

Unser neue Vektor lautet $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Prüfen wir, ob die Summe seiner Komponenten Null ergibt:
$\begin{eqnarray*} (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + a_3 + b_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (a_1 + a_2 + a_3) + (b_1 + b_2 + b_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Damit gehört auch die Summe zweier beliebiger Elemente von T zu T. T ist also - so sagt man - abgeschlossen gegenüber der Addition.

Ist das soweit okay? Du musst hier also einmal zwischen der Addition zweier Vektoren aus T und der Summe der einzelnen Koordinaten eines Vektors aus T unterscheiden. Ersteres muss für alle Untervektorräume geprüft werden, letzteres ist die Eigenschaft der Elemente deines speziellen Untervektorraums T.

18.01.2010, 23:25

John007

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RE: Untervektor?
[quote]Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} iii) \, \, \lambda a \in T \, \, \forall a \in T, \lambda \in K \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation mit einem Skalar aus einem Körper K.

Das Mach ich dan so $\begin{eqnarray*} \vec{a} *\vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a_1*b_1+a_2*b_2+a_1+b_3=0

18.01.2010, 23:30

genossetom

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RE: Untervektor?
Nein, dass dritte Kriterium betrifft die skalare Multiplikation. $\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist ein sogenanntes Skalarprodukt, d.h. hier kommt kein Vektor raus, also kann $\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{b} \end{eqnarray*}$ kein Element von T sein.

In iii prüfen wir, ob ein Vielfaches von einem Element aus T wieder zu T gehört.

Also wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \in \end{eqnarray*}$ T, ist dann auch $\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{a} \in \end{eqnarray*}$ T?

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist dabei kein Vektor, sondern irgendeine relle Zahl.

18.01.2010, 23:32

Mulder

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RE: Untervektor?

Zitat:

Original von genossetom
Ah, entschuldige, hatte nicht bemerkt, dass Mulder das korrigiert hat. Er hat jetzt also zwei Elemente b und c gewählt, in meinem Beispiel sind das a und b. Ist aber wurscht.

Ja, ich bitte die dadurch entstandene Verwirrung zu entschuldigen. Ich hatte das zwischenzeitlich auch gesehen, dass das ungeschickt von mir war und es entsprechend umgeändert.

18.01.2010, 23:42

genossetom

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RE: Untervektor?
Prüfen wir also:
$\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{a} =\lambda * \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda*a_1 \\ \lambda*a_2 \\ \lambda*a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun muss wieder geschaut werden, ob die Summe der Koordinaten dieses Vektors Null ergibt. Tut sie dies, dann gehört auch $\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{a} \end{eqnarray*}$ zu T.

Dies bedeutet, dass das 3. Kriterium - die Abgeschlossenheit gegenüber der skalaren Multiplikation - erfüllt ist.

Somit sind alle Kriterien für einen Untervektorraum erfüllt.

18.01.2010, 23:47

John007

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RE: Untervektor?
Is das 3 Krit speziel oder hier immer gültig?

18.01.2010, 23:52

John007

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RE: Untervektor?
[quote]Original von genossetom

$\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{a} =\lambda * \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda*a_1 \\ \lambda*a_2 \\ \lambda*a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{a} =\lambda * \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*3 \\ 3*-4 \\ 3*1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das endert ja nie was man mit dem 1 Krit nicht schon geprüft hätte

18.01.2010, 23:56

genossetom

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RE: Untervektor?
Ich weiß jetzt leider nicht, was du damit meinst. Für einen Untervektorraum muss dieses Kriterium immer erfüllt sein, egal wie der Unterraum aussieht.

Das Spezielle hier ist, dass $\begin{eqnarray*} \lambda*a_1 + \lambda*a_2 + \lambda*a_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben muss, was es hier auch tut (Lambda ausklammern, die Summe von a1, a2 und a3 ergibt ja Null, da a zu T gehört.

18.01.2010, 23:57

genossetom

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RE: Untervektor?
Prüfe doch einmal mit deinem Beispiel, ob die Summe Null ergibt.

19.01.2010, 00:10

John007

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RE: Untervektor?
Ich meine wenn Lamda eine Konstante ist dan kommt da ja immer 0 heraus wenn das 1 Krit erfüllt ist oder

19.01.2010, 00:17

genossetom

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RE: Untervektor?
Wenn das erste Kriterium nicht erfüllt wäre, hätten wir gar keine Elemente in der Menge und die Überlegungen wären dann natürlich alle sinnlos.

Du hast aber Recht: bei diesem speziellen Vektorraum ändert sich an der Summe der Koordinaten nichts, wenn man jeden einzelnen Summanden mit Lambda multipliziert.

Die Überprüfung von iii ist hier wirklich sehr einfach, aber gezeigt muss sie trotzdem werden.

Damit ist deine Aufgabe gelöst: T ist ein Unterraum des R3, da die Kriterien i - iii erfüllt sind.

19.01.2010, 21:21

John007

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RE: Untervektor?
Danke für diene Hilfe war echt TOLL Freude

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