Reihenkonvergenz

18.01.2010, 20:38

TimTim

Reihenkonvergenz

Hi, ich schaue mir grad eine Altklausur an und bin da auf die Reihenkovnergenz mit Abhängigkeit zu einer Variablen x gestoßen. Sowas hab ich noch nie gemacht und weiss nicht so Recht wie ich da rangehen sollte!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n} }{n} \end{eqnarray*}$

Logisch betrachtet gibt es ja mehrere Fälle:

x<=-1 divergenz
x=0 -> Konvergiert gegen 0
x=1 divergent
x>1

und da komm ich dann wieder an den Punkt den ich in der Vorlesung auch nicht gerallt hab! Angenommen x=1 dann haben wir ja Werte

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n und meiner Meinung nach gibt es ja hier nie einen Grenzwert, die Reihe sprengt alle Grenzen auch wenn sie bei steigendem n immer langsamer wächst!

Für x >1 müsste die reihe ebenfalls divergieren denn der Zähler steigt schneller als der Nenner.

Kann mir jemand sagen wo da der 'wurm' drin ist (wenn da einer ist) ? Wie macht man sowas halbwegs formal? Quotientenregel scheint mir kaum möglich zu sein?

Ich wünsche allen einen schönen Rest-Montag!!!

TimTim

18.01.2010, 20:53

Rmn

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RE: Reihenkonvergenz
Warum magst du denn Quotientenkriterium nicht?
Danach konvergiert die Reihe falls $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left|\frac{x^{n+1}n}{(n+1)x}\right|=\lim_{n \to \infty}\left|x\frac{n}{(n+1)}\right|<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left|x\right|<1 <=> -1<x<1[ \end{eqnarray*}$
also konvergiert die Reihe für alle Werte x zwischen -1 und 1 und sonst divergiert sie.

18.01.2010, 20:57

tmo

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Und die Randstellen wollt ihr nicht betrachten?

18.01.2010, 21:06

Rmn

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Kann man auch machen, für -1 Konvergiert die Reihe nach Leibnitzkonvergenzkriterium, für 1 divergiert die Reihe offensichtlich.
Schreib aber ruhig eine geschicktere Möglichkeit das ganze auszurechnen, würde mich auch interessieren.

19.01.2010, 09:50

klarsoweit

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@Rmn: Die Anwendung des Quotientenkriteriums und die Durchführung der damit verbundenen Rechnungen wäre eigentlich die Aufgabe von TimTim gewesen.

Siehe auch: Prinzip "Mathe online verstehen!"

19.01.2010, 14:09

Rmn

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Du hast recht. Ich dachte, dass er das nicht wirklich als Rechung haben will, sondern viel mehr zu verstehen, wie man mit x in dieser Reihe verfährt und da dachte ich, ein direktes Beispiel wäre einfach einleuchtender und mehr oder weniger das Prinzip zu verstehen.

19.01.2010, 16:31

TimTim

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Hallo nochmal, die Rechnung in dem Sinne hatte ich auch schon vorher gemacht, bin aber an einen Punkt gekommen wo ich nichtmehr wusste wie ich das umformen sollte und zwar bei

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^{n}}{n}}\right|=\left|\frac{x^{n+1}n}{(n+1)x^{n}}\right|=? \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich bitte an der Stelle weiter?

Bist du sicher, dass dein Nenner richtig ist? Bei dir steht da $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x^{n+1}n}{(n+1)x}\right| \end{eqnarray*}$ !

Grüße,

TimTim

19.01.2010, 16:38

Rmn

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$\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ muss das natürlich heißen, ist aber nur ein Tippfehler.

19.01.2010, 16:43

TimTim

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Ich versteh deinen letzten Umforumgsschritt nicht, wenn ich den Weg rückwärts gehe kommt da dochw as anderes raus?

$\begin{eqnarray*} \left|x\frac{n}{(n+1)}\right|=\left|\frac{xn}{(n+1)}\right| \end{eqnarray*}$

!?

19.01.2010, 16:50

Rmn

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Zitat:

Original von TimTim
Ich versteh deinen letzten Umforumgsschritt nicht, wenn ich den Weg rückwärts gehe kommt da dochw as anderes raus?

$\begin{eqnarray*} \left|x\frac{n}{(n+1)}\right|=\left|\frac{xn}{(n+1)}\right| \end{eqnarray*}$

!?

Jetzt verstehe ich das nicht, du fragst mich ob sowas, wie $\begin{eqnarray*} 3\cdot \frac{2}{5} = \frac{2\cdot 3}{5} \end{eqnarray*}$ stimmt?

19.01.2010, 16:52

TimTim

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Der Widerspruch in meinen Augen(der letzte Schritt deiner Recnung rückwärts):
$\begin{eqnarray*} <br /> \left|x\frac{n}{(n+1)}\right|=\left|\frac{xn}{(n+1)}\right|\neq\frac{x^{n+1}n}{(n+1)x^{n}} \end{eqnarray*}$

19.01.2010, 17:07

Rmn

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$\begin{eqnarray*} x^{n+1}=x^n\cdot x \end{eqnarray*}$ Potenzregeln.
Für x=0 konvergiert die Reihe trivial, da man 0en aufsummiert, für x nicht gleich Null, kann man kürzen.
PS: Ich habe da übrigens Betragsstriche noch^^

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