Beweis für Teilbarkeit durch 24

18.01.2010, 20:52

BennyEp

Beweis für Teilbarkeit durch 24

Kann mir jemand helfen?
Ich sollte beweisen, dass das Resultat von (x^3 - x) für x=ungerade, natürliche Zahl immer durch 24 teilbar ist.
Ich komme leider nicht drauf und habe auch im weiten Internet leider nichts gefunden.

18.01.2010, 21:13

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x^3-x = x(x^2-1) = (x-1)x(x+1) \end{eqnarray*}$

ist somit das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, von denen die mittlere (d.h. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) ungerade ist. Was heißt das für die beiden benachbarten Zahlen $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ ?

18.01.2010, 21:38

BennyEp

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass diese beiden Gerad sind.
Aber was hilft das?

18.01.2010, 21:43

BennyEp

Auf diesen Beitrag antworten »

Und dass das Produkt immer durch 3 teilbar ist, da eine von den dreien immer eine 3er-Zahl ist...

18.01.2010, 22:20

BennyEp

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hat es bei mir jetzt Klick gemacht:

Ist die Begründung, dass (x-1) * (x+1) immer durch 8 teilbar ist, weil eines der beiden immer eine 4er-Zahl ist und die andere eine 2er-Zahl?

Somit wäre klar, dass das Produkt durch 3 und 8 teilbar ist und somit logischerweise auch durch 24.

Stimmt meine Herleitung, bzw. gibt es noch eine bessere, einfachere?

Danke jedenfalls fürs Umformen der Formel...

18.01.2010, 22:35

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BennyEp
weil eines der beiden immer eine 4er-Zahl ist und die andere eine 2er-Zahl?

Ja, das ist es.