Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit: allgemeine Fragen

18.01.2010, 21:30

Physinetz

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit: allgemeine Fragen

Hallo zusammen,

ich arbeite gerade mein Skript zu oben erwähnten Themen durch und bin dabei auf ein paar spezielle Fragen gestoßen, bei der ich gerne auf eure Hilfe zurückgreifen würde:

1)
Die geometrische Vielfachheit ist definiert als die Dimension des Eigenraums V(Eigenwert).

Wenn ich nun zu einem Eigenwert einen Eigenvektor errechne dann habe ich praktisch als Eigenraumsdimension : eindimensional
Wenn ich zu einem Eigenwert 2 Eigenvektoren herausbekomme, dann habe als Eigenraum eine Ebene richtig? Die geometrische Vielfachheit wäre dann ja hier 2?

2)
Gibt es eine Erklärung dafür, dass die geometrische Vielfachheit kleiner/gleich der algebraischen Vielfachheit ist?

3)

"Ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & {...0} \\ {...} & {...} & {...0} \\ 0 & {...0} & d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix, so gibt es eine Basis aus Eigenvektoren (nämlich die Standardbasis $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} e_n. \end{eqnarray*}$ "

Hmm verstehe ich nicht ganz, angenommen ich habe als Diagonalelemente nur den Wert 3 , dann hätte ich als Eigenwert den Wert 3 n-mal .
Und dann habe ich ja immer nur den Eigenvektor zum Wert 3. Wie soll dieser dann eine Basis bilden?

4) Ich weiß das hier fällt vom Himmel, aber weiß jemand woher das rührt:

$\begin{eqnarray*} T^{-1}*A*T=T^{-1}*T * \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & {...} & 0\\ 0 & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

5) Könnte mir vielleicht mal jemand erklären, wie das mit Basis aus Eigenvektoren funktioniert? Ich verstehe das nicht ganz, wann es eine Basis aus Eigenvektoren gibt und wieso...

Vielen Dank für jede Hilfe
leider fallen mir nicht viele Lösungsansätze ein...

Gruß Physi

18.01.2010, 23:40

El_Snyder

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RE: Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit: allgemeine Fragen

Zitat:

Original von Physinetz
Wenn ich nun zu einem Eigenwert einen Eigenvektor errechne dann habe ich praktisch als Eigenraumsdimension : eindimensional
Wenn ich zu einem Eigenwert 2 Eigenvektoren herausbekomme, dann habe als Eigenraum eine Ebene richtig? Die geometrische Vielfachheit wäre dann ja hier 2?

Ja, die Eigenvektoren sollten nur nicht linear abhängig sein Augenzwinkern

Aber das ist denk ich mal klar..

Zitat:

Original von Physinetz
2)
Gibt es eine Erklärung dafür, dass die geometrische Vielfachheit kleiner/gleich der algebraischen Vielfachheit ist?

Naja, nicht jede quadratische Matrix ist diagonalisierbar, was eben daran liegt, dass auch Eigenwerte mit einer algebraischen Vielfachheit von 2 nur einen linear unabhängigen Eigenvektor haben können. Sprich: Dein charakteristisches Polynom hat u.a. eine n-fache Nullstelle, die Eigenvektoren dieses Eigenwerts spannen aber nur einen Eigenraum mit Dimension < n auf (andersherum kann aber ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit n keine n+x (x>0) linear unabhängigen Eigenvektoren besitzen).

Zitat:

Original von Physinetz
3)

"Ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & {...0} \\ {...} & {...} & {...0} \\ 0 & {...0} & d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix, so gibt es eine Basis aus Eigenvektoren (nämlich die Standardbasis $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} e_n. \end{eqnarray*}$ "

Hmm verstehe ich nicht ganz, angenommen ich habe als Diagonalelemente nur den Wert 3 , dann hätte ich als Eigenwert den Wert 3 n-mal .
Und dann habe ich ja immer nur den Eigenvektor zum Wert 3. Wie soll dieser dann eine Basis bilden?

Die Frage hast du dir doch oben selbst beantwortet: Die geometrische ist immer kleiner/gleich der algebraischen Vielfachheit. Ein n-facher Eigenwert kann halt auch n linear unabhängige Eigenvektoren besitzen, die eine Basis des Eigenraums bilden. Die kannst du dann mit Gram-Schmidt orthogonalisieren, wenn du die Standardbasis haben willst.

Zitat:

Original von Physinetz
4) Ich weiß das hier fällt vom Himmel, aber weiß jemand woher das rührt:

$\begin{eqnarray*} T^{-1}*A*T=T^{-1}*T * \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & {...} & 0\\ 0 & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie du schon geschrieben hast, ist eine Matrix A diagonalisierbar, falls der Körper unter A eine Basis aus Eigenvektoren von A besitzt. Dann gilt $\begin{eqnarray*} A \cdot b_i = \lambda_i b_i \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} B = (b_1, ..., b_n) \end{eqnarray*}$ eine solche Basis ist. Wenn nun T die Matrix mit Spaltenvektoren $\begin{eqnarray*} b_1, ..., b_n \end{eqnarray*}$ und D die Diagonalmatrix mit Diagonalelementen $\begin{eqnarray*} \lambda_i, ... \lambda_n \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet die obige Gleichung nichts anderes als $\begin{eqnarray*} A \cdot T = T \cdot D \end{eqnarray*}$ . Und das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} T^{-1} \cdot A \cdot T = D \end{eqnarray*}$ . Daher kommt deine Gleichung. $\begin{eqnarray*} T^{-1} \cdot T \end{eqnarray*}$ gibt ja gerade die Einheitsmatrix.

Zitat:

Original von Physinetz
5) Könnte mir vielleicht mal jemand erklären, wie das mit Basis aus Eigenvektoren funktioniert? Ich verstehe das nicht ganz, wann es eine Basis aus Eigenvektoren gibt und wieso...

Das müsstest du dir jetzt fast selbst erklären können Augenzwinkern

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