Herleitung Binomischer Lehrsatz

19.01.2010, 14:14

Gittetier

Herleitung Binomischer Lehrsatz

Hallo liebe Mathe-Cracks,
ich habe folgende Frage zu o.g. Thema und würde mich freuen, wenn ihr mir weiter helft. Dem binomischen Lehrsatz zufolge gilt:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} y^k \end{eqnarray*}$

Nun ist mir der Zusammenhangmit der Regel in der Kombinatorik

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = n!/ k! (n-k)! \end{eqnarray*}$ nicht klar.

So viel habe ich bis jetzt kapiert:
- warum sich eine Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt
- warum in der Summe beim binomischen Lehrsatz die Faktoren $\begin{eqnarray*} x^{n-k} y^k \end{eqnarray*}$ auftauchen

Nun meine Frage: Warum lässt sich die Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge genau so darstellen (als n über k), wie der Koeffizient in der binomischen Formel? Ist das nun Zufall? Wohle eher nicht? Und wo ist der Zusammenhang?

Ganz vielen Dank schon mal für eure Mühe. Ihr würde mir das Leben echt ein gutes Stück leichter machen ;-)

20.01.2010, 17:37

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächstmal ist dein Binomischer Lehrsatz nicht korrekt (bzw. unnötig allgemein und sinnlos).

Es gilt (wenn ich an deine Aussage anknüpfe): $\begin{eqnarray*} a=x, b=y \end{eqnarray*}$ .
Beweisen kannst du diesen Lehrsatz durch vollständige Induktion. Für konkrete n (also z.B. n=5) kannst auch direkt beweisen durch "ausrechnen". Die ersten beiden binomischen Formeln sind ein Spezialfall des binomischen Lehrsatzes.

Anschaulich macht das ganze das Pascalsche Dreieck (jeder Eintrag wird gebildet aus der Summe der beiden Einträge über ihm):

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Pascal_triangle_small.png

Interessant wird der Binomische Lehrsatz für die Stochastik, wenn man x+y=1 setzt. Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k (1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Die Definition (nicht "Regel"!) $\begin{eqnarray*} {n \over k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht alleine der Kombinatorik entnommen.

Ich verstehe nicht so ganz den Zusammenhang zwischen deinen Fragen, aber ich bemühe mich mal möglichst viel zu klären:

Zitat:

- warum sich eine Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt

Das führt in die Mengenlehre. Du kannst genau auf $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ Arten k-Teilmengen aus einer n-Menge bilden. Dabei ziehst du ohne Zurücklegen k Elemente aus der n-Menge.

Zitat:

NWarum lässt sich die Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge genau so darstellen (als n über k), wie der Koeffizient in der binomischen Formel?

Ich würde da anders herum rangehen:
Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wahrscheinlichkeitsexperiment mit zwei verschiedenen Ausgängen (Treffer und Niete) bei den Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für Treffer und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (y=1-x) \end{eqnarray*}$ für Niete und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängigen Wiederholungen

genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Treffer zu erzielen bildet sich aus:
Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Treffer (bei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Versuchen): $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$
Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ Nieten (bei $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ Versuchen): $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$ .
Möglichkeiten die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Treffer (Teilmenge) aus der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Menge (Anzahl der Versuche) zu bilden: $\begin{eqnarray*} n \choose k \end{eqnarray*}$ .
Was das selbe ist wie die Anzahl der Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ Nieten (Teilmenge) aus der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Menge zu bilden: $\begin{eqnarray*} {n \choose {n-k}} \end{eqnarray*}$

Die n-Menge muss nachher k Treffer und n-k Nieten "tragen". Z.B. (n=6, k=2): 1 ist Treffer, 2 ist Niete, 3 ist Niete, 4 ist Niete, 5 ist Treffer, 6 ist Niete.
Dies würde bedeuten, dass du eine 2-Teilmenge ziehst und das 1. Element und das 5. Element erwischst.

Daher passt genau diese Beschreibung aus der Mengenlehre auf das Problem.

22.01.2010, 10:34

Gittetier

Auf diesen Beitrag antworten »

habs glaub kapiert ; nochmal nachfragen
Hallo, das ist toll! Tolles Matheboard tolle Antwort, danke.
Ich würde aber gern nochmal fragen, ob das so stimmt, wie ich mir das so denke. Also, so erkläre ich mir das nun smile

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse eines Münzwurfs summiert sich zu 1, weil ein Münzwurf oder so eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung hat?

Und dann setzen sich die Wahrscheinlichkeiten so zusammen:

also wenn ich mir da so ein Baumdiagramm vorstelle, dann bezeichnet

$\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit des Strangs von k unterästen mit dem Ergebnis Treffer.

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit von den Unterästen mit Ergebnis Niete im selben Strang

Also ist $\begin{eqnarray*} x^k * (1-x)^{n-k} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit von einem kompletten Ast, der k Treffer enthält.

Und dann mulitpliziere ich das ganze mit der Anzahl der Äste, die K Treffer enthalten, also mit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse mit K Treffern?

Und wenn man alle Wahrscheinlichkeiten mit allen möglichen Ks addiert, gibts 1. ??

@ Zellerli: Dir vielen vielen vielen Dank. Wenn das so grob stimm, was ich hier zusammenbruzzle, würde ich mich über ein kurzes "jup" freuen. Schönes Wochende wünsch ich.

22.01.2010, 14:31

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht nur grob, das ist absolut korrekt Freude

edit: sehe gerade:

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse eines Münzwurfs summiert sich zu 1, weil ein Münzwurf oder so eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung hat?

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse muss bei jeder Zufallsgröße immer 1 sein. Irgendwas muss ja eintreten.
Aber das folgt nicht daraus, dass es eine diskrete Verteilung ist.

Neue Frage »

Antworten »

Herleitung Binomischer Lehrsatz

Verwandte Themen