maximales Intervall einer DGL (AWP) bestimmen??

19.01.2010, 14:16

pimpl

maximales Intervall einer DGL (AWP) bestimmen??

Hallo.

Ich habe bereits eine andere Frage bezüglich dieser Beispielaufgabe gestellt, aber nun interessiert mich folgendes Problem:

"Bestimmen Sie das maximale Intervall um x0 = 0, auf dem die Lösung definiert ist."

Es ist ja klar, dass x^2 UNGLEICH 2 ln 2 sein muss, weil sonst durch null dividiert werden müsste.

Wieso muss aber Betr.(x) < Wurzel(2*ln2) sein??

.. Dadurch ist ja sichergestellt, dass die rechte Seite, also y, immer negativ ist. Wieso muss das aber so sein??
Ich habe keine Ahnung!

Danke für eure Hilfe!

19.01.2010, 16:38

Mulder

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RE: maximales Intervall einer DGL (AWP) bestimmen??
$\begin{eqnarray*} y= \frac{2}{\exp{\left(\frac{x^2}{2}\right ) }-2} \end{eqnarray*}$

So, gesucht ist das maximale Intervall um x=0, für das die Funktion definiert ist. Mach dir doch mal die Definition eines Intervalls klar. Hier mal ein Auszug aus Wikipedia:

Zitat:

Ein Intervall ist eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer geordneten Menge. Dabei bedeutet „zusammenhängend“: Wenn zwei Objekte in der Teilmenge enthalten sind, dann sind auch alle Objekte, die dazwischen liegen, darin enthalten.

Man braucht also ein (in diesem Fall offenes) Intervall der Form $\begin{eqnarray*} I = (a < x_0 < b) \, \, , \, \, x_0=0 \end{eqnarray*}$ , so dass y für alle Elemente aus I definiert ist.

Das gilt auf jeden Fall für alle $\begin{eqnarray*} |x| < \sqrt{2 \ln(2)} \end{eqnarray*}$ .

Die Tatsache, dass das auch für $\begin{eqnarray*} |x| > \sqrt{2 \ln(2)} \end{eqnarray*}$ gilt, ist dabei egal.

Versuch mal, dir zu überlegen, warum. Die Definition "zusammenhängend" ist hierbei wichtig.

19.01.2010, 16:39

giles

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Ich nehme man an dir ist klar, warum man sich das Intervall um 0 sucht und dass zu einer Funktion immer Vorschrift und Definitionsbereich gehören. Außerdem scheint dir klar zu sein, dass an den beiden Punkten $\begin{eqnarray*} -x=\sqrt{2\cdot \ln 2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2\cdot\ln 2} \end{eqnarray*}$ eine Polstelle liegt.
Nehmen wir mal die Polstellen aus dem Definitionsbereich heraus und definieren die Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ entsprechend der Vorschrift weiter.

Frag dich jetzt mal: Kann die auf diesem neuen Intervall definierte Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ jetzt überhaupt noch Lösung einer Differentialgleichung sein?

20.01.2010, 13:33

pimpl

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Also, ich habe es nun folgendermaßen aufgefasst:

Das maximale Intervall MUSS die Null enthalten (da Anfangswert), und weiter ist das Intervall laut Definition zusammenhängend. Da nun die beiden gefundenen Polstellen das intervall unterbrechen, sind sie die offenen Intervallgrenzen.

Ist das nun so korrekt?

Aber was ist eigentlich, wenn ich ein betragsmäßig größeres x wähle, das außerhalb des gefundenen Intervalls liegt. Es erfüllt ja gleichfalls die Gleichungen. Gehört es dann auch zur Lösung?
.. ist dann die Lösung des AWP die Menge aller reellen Zahlen ohne die beiden Polstellen?

Ich danke für eure Hilfe.

20.01.2010, 16:38

giles

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Zitat:

Original von pimpl
Aber was ist eigentlich, wenn ich ein betragsmäßig größeres x wähle, das außerhalb des gefundenen Intervalls liegt. Es erfüllt ja gleichfalls die Gleichungen. Gehört es dann auch zur Lösung?
.. ist dann die Lösung des AWP die Menge aller reellen Zahlen ohne die beiden Polstellen?

Hättest du dir auch selbst überlegen können, wenn du dir diese Frage beantwortet hättest:

Zitat:

Original von giles
Frag dich jetzt mal: Kann die auf diesem neuen Intervall definierte Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ jetzt überhaupt noch Lösung einer Differentialgleichung sein?

Die Antwort ist "nein"; wie soll eine Funktion mit Unstetigkeitsstellen auf einem Intervall Lösung einer DGl für dieses Intervall sein?

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