Integration E funktion

19.01.2010, 18:24

sebastian1

Integration E funktion

hallo

meine frage zur integration $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! e^{-st}\, dt \end{eqnarray*}$

laut integraltafel kommt da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{s} *e^{-st} \end{eqnarray*}$

aber wieso ist das so?

19.01.2010, 18:35

Mulder

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RE: Integration E funktion
Wenn du eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ ableiten willst, ist das ja nach Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x)e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Dementsprechend muss beim Integrieren mit dem Kehrwert der inneren Ableitung multipliziert werden, damit sich beim erneuten Ableiten gerade wieder dein f ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^{g(x)} \, \dx = \frac{1}{g'(x)} e^{g(x)} \end{eqnarray*}$

Wobei letzteres natürlich so nur funktioniert, wenn g linear ist, also von der Form g(x)=ax+b. Aber das ist hier ja der Fall.

Edit: Es steckt aber auch noch ein Vorzeichenfehler in deiner Lösung, sehe ich gerade.

19.01.2010, 18:41

sebastian1

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ich leite also denn exponeneten nach t ab (kettenregel) und bilde denn kehrwert draus?

19.01.2010, 18:43

sebastian1

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-s} *e^{-st} \end{eqnarray*}$

richtig?

19.01.2010, 18:46

Mulder

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Zitat:

Original von sebastian1
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-s} *e^{-st} \end{eqnarray*}$

richtig?

Ja, so stimmt es.

Zitat:

Original von sebastian1
ich leite also denn exponeneten nach t ab (kettenregel) und bilde denn kehrwert draus? [/latex]

Im Prinzip ja. Aber bedenke:

Es klappt nur, wenn der Exponent eine lineare Funktion ist, weil dann die Ableitung eine Konstante ist.

19.01.2010, 19:07

sebastian1

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was wäre denn z.B. eine anderer fall, also keine lineare funktion?

19.01.2010, 19:12

sebastian1

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und letzte frage:
zu der obigen e funktio:meine integrationsgrenzen setze ich nach dem aufleiten nur in denn exponenten, nicht in die konstante vor der e funktion?

19.01.2010, 19:13

sebastian1

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sorry letzte frage nicht beachten, fehler von mir.

gruss

19.01.2010, 19:14

Mulder

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Zitat:

Original von sebastian1
was wäre denn z.B. eine anderer fall, also keine lineare funktion?

Also, das solltest du schon wissen.

Eine lineare Funktion ist von der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ Also eine Funktion, bei der der Graph der Funktion eine Gerade ist.

Konstruiere dir doch irgendwas anderes. $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht linear. $\begin{eqnarray*} h(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ ist nicht linear. Und so weiter und so fort.

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