untere Dreiecksmatrix |
19.01.2010, 19:45 | Sete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
untere Dreiecksmatrix Sei Zeigen Sie, dass A genau dann eine untere Dreiecksmatrix ist, wenn eine untere Dreiecksmatrix ist. Bestimmen sie in diesem Fall die Elemente auf der Hauptdiagonalen . Ich betrachte das jetzt mal für eine nxn Matrix. Also unsere Matrix wobei da es ja eine untere Dreiecksmatrix sein soll. So, da . ja auch eine untere Dreiecksmatrix sein soll, muss das Produkt von ja auch wieder eine obere Dreiecksmatrix sein. das wir zeigen müssen, das ist aber noch nicht ganz richtig^^ bzw wenns überhaupt ansatzweise richtig ist. Der nächste Schritt wäre zu zeigen, dass eine untere Dreicksmatrix ist. Anschließend würde ich "versuchen" zu zeigen, das C eine untere Dreiecksmatrix ist. Über Induktion oder so :P Naja ein Schritt nach dem anderen. Kann man mit dem Ansatz was anfangen oder bin ich absolut auf dem Holzweg? MfG |
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19.01.2010, 20:23 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es reicht bei diesem Beweis völlig aus nur eine Richtung zu zeigen. Mit einem geschickten Trick nämlich. Sei A untere Dreiecksmatrix, und nehmen wir an Du hast bereits gezeigt das dann auch eine untere Dreiecksmatrix ist. Diesen Satz kannst Du dann natürlich auf und anwenden. Daher reicht eine Richtung völlig. Was den Beweis angeht : Jetzt von oben nach unten aufdröseln. Dann für allgemeine n formulieren! |
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19.01.2010, 20:52 | Sete | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super danke |
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20.01.2010, 17:37 | Mathemaus29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ich habe die Aufgabe auch. Auch den Ansatz mir ähnlich gedacht? Aber wie löst du das auf? |
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20.01.2010, 17:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Betrachte die erste Zeile von X. Es soll A*X = I sein, sprich für alle j. Wir wissen das die erste Zeile von A überall Nullen hat bis auf die erste Stelle. Das heisst die erste Zeile von AX sieht so aus : Jetzt wissen wir das diese Zeile gleich der ersten Zeile der Einheitsmatrix sein soll, also Wir wissen das (warum wissen wir das? ), was muss daher für gelten? |
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20.01.2010, 18:15 | Mathemaus29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, irgendwie steh ich noch ein bischen auf dem Schlauch. Aber: Es müsste ja für sein, damit die erste Zeile von A überall Nullen hat bis auf an der ersten Stelle: an dieser Stelle müsste es ja das inverse zu A sein, damit gilt . |
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20.01.2010, 18:21 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ganz genau, , die restlichen Einträge sind Null. Gehen wir zur zweiten Zeile, weil wir wissen wie die erste Zeile aussieht folgt für die zweite Zeile von Und stellst Du was fest? Wie kann man damit eine allgemeine Form für die k-te Zeile von X gewinnen? |
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20.01.2010, 18:32 | Mathemaus29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also muss hier gelten? Gilt also für dann ist an dieser Stelle bzw ist dann . Wie schreibe ich das aber nun formal richtig auf, also als Formel? |
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21.01.2010, 11:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist korrekt.
Das ist falsch. Richtig wäre : Aber das ist die Aussage die Du zeigen willst. Zeige das die k-te Zeile gerade von der Form : ist. |
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