Relation

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student09 Auf diesen Beitrag antworten »
Relation
Auf der Menge der ganzen Zahlen sei eine Relation ~ definiert durch
x ~ y 5 teilt x - y

a) zeigen sie das dies eine Äquivalenzrelation ist
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Na, inzwischen solltest du aber wissen,

a) dass du eigene Ansätze zeigen sollst
b) Was du für eine Äquivalenzrelation nachweisen musst.

Augenzwinkern

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

naja ich hab ja auch gesagt ich hab nur eine kurze frage an dich:-)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stelle die kurze Frage. smile

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

also
ich muss jetz ja erstmal schauen ob die relation reflexiv ist usw.
setze ich jetzt auch einfach für x z.B null ein und d.h ich habe dann bei der reflexivität x-x.
hoffe du verstehst was ich damit meine ;-)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht sicher. Augenzwinkern

Für Reflexivität musst du zeigen, dass für alle ganzen Zahlen x ~ x gilt, d.h. 5 teilt (x-x).

Aber fangen wir doch mal so an: Was bedeutet "5 teilt y" überhaupt mathematisch für eine beliebige Zahl y?

air
P.S.: Leichter Verweis auf mein Video "Relationen, Äquivalenzrelationen II, Part 1" - ganz am Anfang rechne ich da ein Beispiel vor, dass fast 1:1 dem hier entspricht .. Video findest du auf der Homepage, falls du es ansehen magst.
 
 
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

1.
5 teilt y bedeutet dass y eine Zahl sein muss die durch 5 teilbar ist und somit mindestens 5 sein muss oder 10 ,15,20 usw.

2.
Ich schau mir dein video gleich mal an und meld mich dann wieder:-)

lg student09
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das mag stimmen ... aber mit Worten rechnet es sich leider schlecht, darum solltest du ganz formal wissen, was Teilbarkeit bedeutet. Augenzwinkern

Da du aber eh das Video anguckst wirst du das gleich wissen.

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

kommt in dem Video etwas über teilbarkeit?

also reflexivität bedeutet in dem Fall 5|(x-x) dann ergibt sich 5|0 das ist richtig (auch wenns sich komisch anhört finde ich), d.h die x~x oder?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt - die Relation ist also reflexiv.

Weiter gehts also mit Symmetrie. Was nimmst du an, was willst du dann folgern?

air
P.S.: Im genannten Video (Relationen, Äquivalenzrelationen II - Part 1) kommt direkt am Anfang ein Beispiel, bei dem es eben um Teilbarkeit durch 2 geht, sonst ist es exakt gleich.
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

symmetrisch bedeutet
x~y und y~x, d.h. 5|(x-y) und 5|(y-x) richtig?

angenommen x=0 und y=0 dann gilt 5|0 und 5|0 somit wäre die relation symmetrisch
oder?
Muss ich jetzt auch davon ausgehen das z.B x=2 und y= 5 ist?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst unbedingt lernen, hier etwas exakter zu werden.
Symmetrie heißt nicht:

"Es gilt y~x und x~y"

sondern:

"Wenn x~y gilt, dann gilt auch y~x"

Zwischen einem "und" und einer Folgerung liegen große Unterschiede!
Und davon ausgehen, was x und y sind, darfst du gar nicht. Du sollst es für alle ganzen Zahlen zeigen, die in Relation stehen - mit Beispielen kannst du sowas nur widerlegen, nicht aber beweisen. Augenzwinkern

Wir nehmen also an, es git x~y, d.h. 5|(x-y). Und jetzt wird es notwendig, dass du dir zu Gemüte führst, was es bedeutet, wenn eine Zahl eine andere teilt, denn nun brauchen wir eine formale Schreibweise (Definition) dafür, mit der wir arbeiten können.

Übrigens, zur Reflexivität: Das ist auch nur so in Ordnung gewesen, wenn du 5|0 wirklich weißt. Korrekterweise sollte man auch hier einen Schritt weitermachen, mit Hilfe der Definition.

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

oh man,das lern ich nie:-)
danke das du mich daran immer erinnerst.
Kann ich das so erklären: es existieren m, n elemente aus den ganzen zahlen mit:

5*m = x - y
5*n = y - x ???
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich wäre das völlig äquivalent, also richtig - ist aber viel zu viel! Big Laugh Da bist du zur Abwechslung mal übers Ziel hinausgeschossen.

Es genügt bereits:



Nun nehmen wir also an, dass x~y gilt. Was wissen wir also laut Definition?
Und dann weiter: Zeigen wollen wir, dass dann y~x gilt - was müssen wir laut Definition zeigen?

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Tatsächlich wäre das völlig äquivalent, also richtig - ist aber viel zu viel! Big Laugh Da bist du zur Abwechslung mal übers Ziel hinausgeschossen. Danke Augenzwinkern

Es genügt bereits:



Nun nehmen wir also an, dass x~y gilt. Was wissen wir also laut Definition?
Und dann weiter: Zeigen wollen wir, dass dann y~x gilt - was müssen wir laut Definition zeigen?

air


darf ich fragen was dieses falsche E bedeutet,das hatten wir noch nicht.ich habs nur immer gesehen
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Uch, sorry - ich dachte du kennst Quantoren. Dieses umgedrehte E bedeutet "es existiert ein".

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

naja aus der definition wissen wir das es ein n aus den ganzen Zahlen gibt, welches mit 5 multipliziert x-y ergibt.oder?besser weiß ich es nicht... ich kann ja jetzt nicht immer übers Ziel hinausschießen:-)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, genau das wissen wir.
Und was wollen wir zeigen?

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

naja, zeigen wollen wir dass es auch ein m aus den ganzen Zahlen gibt, welches mit 5 multipliziert y-x ergibt !?

d.h 5*n =x-y 5*m=y-x

ps.kriege den richtigen pfeil nicht hin...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau - geht doch Freude

Was musst du denn mit (x-y) machen, um daraus (y-x) zu machen? Denn genau da wollen wir hin. Und da 5n=x-y eine Gleichung ist, musst du links natürlich das selbe machen.

Und dann denkst du über diesen Tipp nach: Wenn man eine ganze Zahl hat, dann ist es auch eine ganze Zahl, wenn man das Vorzeichen ändert.

air
p.s.: welchen richtigen Pfeil?
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

na diesen hier

smile jetzt kann ich ihn
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wo willst du diesen Pfeil denn hinsetzen? Der hat hier nirgends was verloren verwirrt

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

na dann umso besser...
5*n = x-y --> 5*n +y-x = 0 --> y-x = 5*n --> y~x richtig?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Na also über



würde ich doch nochmal nachdenken ... Augenzwinkern

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Na also über



würde ich doch nochmal nachdenken ... Augenzwinkern

air



ah,hab ich doch einen flüchtigkeitsfehler gemacht...

es ist natürlich 5n = x-y --> 5n +y-x = 0 --> y- x = - 5n
mit (-1) multipliziert ergibt sich

y-x = 5 m --> y~x jetzt richtig?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist etwas schnell. Plötzlich steht da ein m und keiner weiß, was es bedeutet.
Nochmal von Anfang:

Wir nehmen an, es gelt x~y, d.h. es existiert eine ganze Zahl n, so dass 5n = x-y ist. Mit (-1) multipliziert bekommen wir

-5n = y-x.

Rechts steht das y-x, das wir wollen. Links steht nun -5n, was wir aber brauchen ist die Form 5m. Also müssen wir da hinkommen!

Versetze also mal das Minus, so dass es nicht vor der 5 steht, denn vor der 5 soll ja nichts mehr stehen. Wir bekommen 5 * (-n) = y-x.
Nun liegt natürlich nahe, dass wir m = -n wählen. Denn dann hätten wir 5m = y-x und alles wäre klar.
Nun kommt aber die Goldfrage: Damit dies die Definition erfüllt, muss m eine ganze Zahl sein. Also musst du begründen, warum m mit der Wahl m=-n eine ganze Zahl ist.

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

also in deinem video hast du gesagt dass wenn n eine ganze zahl ist dann ist auch -n eine ganze zahl.ersetze ich also -n mit m so ist auch m eine ganze zahl.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Das ist zwar offensichtlich (ich hoffe, es macht auch für dich Sinn ... 5 ist eine ganze Zahl, also auch -5 etc. - gerade so wurden ganze Zahlen ja gewissermaßen definiert), aber es sollte unbedingt hin.

Im Video siehst du ja, wie man das alles aufschreiben sollte. Auch diese Schritte am Ende sollten wirklich vorhanden sein, so doof sowas wie "-5n = 5(-n)" auch aussehen mag! Augenzwinkern

Kurzer Ausflug zur Reflexivität: 5|(x-x) -> 5|0 stimmt offensichtlich, weil n=0 eine ganze Zahl ist und 5*n = 5*0 = 0 ist.

So, nun zur Transitivität. Und erstmal sag ich nun gar nichts und du fängst mal an. Versuch ganz ordentlich zu arbeiten - was du annimmst, was es bedeutet, ... Augenzwinkern

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

ein kleiner anfang:

nehmen wir an es gilt x~y und y~z so muss auch gelten x~z.
d.h
5|(x-y)
5|(y-z) es existieren also Ganze Zahlen m,n sodass gilt

5m =x-y
5n = y-z
um zu zeigen dass die Relation transitiv ist müssen wir erreichen dass auch x~z gilt, d.h. 5|(x-z) --> 5k = x-z

reicht das für den anfang?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt Freude
Jetzt haben wir also den Bauplan vor uns liegen, der Werkzeugkasten steht neben dir - du musst nur noch den richtigen Schraubenschlüssel rausholen. Augenzwinkern

Wir müssen x-z irgendwie darstellen, haben Aussagen über x-y und y-z. Versuche also, mit diesen beiden x-z darzustellen, denn dann können wir das verwenden, was wir über diese zwei Terme wissen.

Der goldene Tipp, den du vielleicht aus meinem Video kennst, ist hier einer meiner absoluten Lieblinge ... wir addieren eine Null. Augenzwinkern

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich die beiden terme jetzt miteinander addieren?
so dass gilt 5m +5n = x-y + y-z ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Du darfst Gleichungen addieren, also kann man das machen.
Wie du nun siehst, steht auf der rechten Seite gerade unser gesuchter Term x-z ... klasse, oder?

Jetzt musst du nur noch dafür sorgen, dass du links einen Ausdruck der Form 5*k erhälst und zwar so, dass k eine ganze Zahl ist.

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir noch nen tip geben?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst k bestimmen, für welches 5m+5n=5k gilt. Wenn dus gar nicht siehst, löst du halt schlimmstenfalls nach k auf. Augenzwinkern

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

ich könnte die 5 ausklammern oder?

also 5*(m+n) = x-z
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

und dann wähle ich m+n = k?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt Freude
Wie vorhin auch solltest du nun nur noch kurz ein Wort verlieren, warum k mit dieser Wahl eine ganze Zahl ist.

Die ganzen Zahlen sind .... bezüglich der ... ?

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

da m und n ganze zahlen sind, so ist auch k eine ganze zahl
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Joa ... ist nicht direkt eine Begründung, zeigt aber, dass du dir den Gedanken gemacht hast.
Die Begründung wäre: Die ganzen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Addition (d.h. die Addition zweier beliebiger ganzer Zahlen ist wieder ganz).

Nun haben wir Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Was folgern wir daraus? Augenzwinkern

air
student09 Auf diesen Beitrag antworten »

das die relation äquivalent ist
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