Wie bestimme ich aus zwei Basen die darstellende Matrix?

19.01.2010, 20:40

wimateufelchen

Wie bestimme ich aus zwei Basen die darstellende Matrix?

Ich habe zu einer lineraren Abbildung f: $\begin{eqnarray*} R^{4}\to R^{3} \end{eqnarray*}$

zwei Basen des $\begin{eqnarray*} R^{4},R^{3} \end{eqnarray*}$ gegeben und soll daraus die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B}(f) \end{eqnarray*}$
und soll daraus jetzt $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

zunächst hab ich $\begin{eqnarray*} \phi_{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_{B} \end{eqnarray*}$ bestimmt und weiß jetzt aber nicht wie ich dann auf $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B} \end{eqnarray*}$ komme, kann ich einfach $\begin{eqnarray*} \phi_{A}* \phi_{B} \end{eqnarray*}$ berechnen?

19.01.2010, 22:30

WebFritzi

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RE: Wie bestimme ich aus zwei Basen die darstellende Matrix?

Zitat:

Original von wimateufelchen
zunächst hab ich $\begin{eqnarray*} \phi_{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_{B} \end{eqnarray*}$ bestimmt

Und natürlich wissen wir alle, was du damit meinst... unglücklich

Mache folgendes:
1.) Berechne die Bilder der Basisvektoren aus A
2.) Stelle diese 4 Bilder als Linearkombinationen der Vektoren aus B dar
3.) Schreibe die Koeffizienten aus 2.) (pro Bild) jeweils in eine Spalte und reihe die 4 Spalten aneinander.

Das, was du am Ende rausbekommst, ist die gesuchte Matrix.

Merksatz: "Die Spalten sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren."

19.01.2010, 23:55

Nuit Blanche

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Für Spaltenvektoren ist mir dies einleuchtend.
Aber was ist, wenn die Basen aus Polynomen besteht?
Ich habe in einer Übungsaufgabe das Problem, dass man die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_{T,S} \end{eqnarray*}$ angeben müssen und zwar für ein gegebenes K mit $\begin{eqnarray*} char (K) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi : K [X]_4 \rightarrow K [X]_3, \Phi ( f (X) ) = f' (X) \end{eqnarray*}$ (Ableitungshomomorphismus) mit den Basen $\begin{eqnarray*} S = {1, X, X^2, X^3} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K [X]_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T = {1, X, X^2} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K [X]_3 \end{eqnarray*}$ . Nun habe ich von jedem Vektor aus S die Ableitung gebildet, kenne nun ihre Bilder.

$\begin{eqnarray*} \Phi (1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi (X) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi (X^2) = 2 \cdot X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi (X^3) = 3 \cdot X^2 \end{eqnarray*}$

Doch wie lässt sich hierfür die Darstellungsmatrix darstellen?

LG Nuit Blanche

20.01.2010, 00:23

WebFritzi

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Warum postest du einfach ein neues Problem in den von wimateufelchen eröffneten Thread? Mach dafür in Zukunft doch bitte einen neuen auf. Danke.

20.01.2010, 00:31

Nuit Blanche

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Aber ist es nicht im Prinzip das gleiche Problem? smile

Und wozu sollte man dann unnötig mehrere Threads für ein Problem eröffnen?

Hoffe, man kann mir dennoch helfen,
LG

20.01.2010, 01:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Nuit Blanche
Aber ist es nicht im Prinzip das gleiche Problem? smile

Das ist es wohl. Aber du könntest wimateufelchen mit diesem ganzen kryptischen Krams verwirren. Er/sie hat dagegen nur ein IR^n-Problem. Aber sei's drum... Für dich gilt natürlich genau die gleiche Anleitung wie für wimateufelchen. Was hast du dabei für ein Problem?

20.01.2010, 01:08

Nuit Blanche

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Das Problem bei mir ist nur, wie man von den Ableitungen der Polynome zu der Matrixdarstellung gelangt. Die Ergebnisse kann ich ja nicht so nebeneinander schreiben wie die Spaltenvektoren von wimateufelchen.

20.01.2010, 02:14

WebFritzi

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Wenn du meinen Anweisungen folgst,die ich oben gegeben habe, dann kannst du das genauso machen, doch.

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