Normalenvektor - verändern?

19.01.2010, 22:05

dreams4u

Normalenvektor - verändern?

Hey
Wenn ich eine Ebene e hab und den Normalenvektor berechne, so kann ich ja "kürzen" indem ich sage: $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = 4*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wenn ich aber jetzt den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe, ändert sich dann ja nichts an der Ebene, wenn ich den Vektor praktisch auf "die andere Seite setzte" und den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachte.
In meinem Beispiel lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform
e: x1 + x2 + 2*x3 =8
..umgerechnet in die Parameterform ergibt sich für die beiden Richtungsvektoren dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ; \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
um zur richtigen Lösung zu gelangen muss man hier jedoch mit $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weiterrechnen...
kann ich das einfach anhand eines Bildes dann begründen...
bzw ist diese Annahme richtig....

diese Frage basiert auf dieser Aufgabe
http://www.emath.de/Mathe-Abituraufgaben...ie-Vorschau.pdf

wobei die Lösung den normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verwendet...
bei der Berechnung des Winkels spielt diese Unterschied noch keine Rolle....jedoch bei der Abstandsberechnung bzw. bei der Berechnung des Punkts Q
lg

Edit (mY+): Du hast überall vergessen, die Ausdrücke mit den LaTex - Tags einzuschließen. Korrigiert.

20.01.2010, 00:18

mYthos

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RE: Normalenvektor - verändern?

Zitat:

Original von dreams4u
...
wenn ich aber jetzt den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe, ändert sich dann ja nichts an der Ebene, wenn ich den Vektor praktisch auf "die andere Seite setzte" und den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachte.
...

Das ist falsch. Die erste Komponente muss -1 lauten!

Zitat:

...
..umgerechnet in die Parameterform ergibt sich für die beiden Richtungsvektoren dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ; \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
...

Das ist ebenso falsch. Multipliziert du den vermeintlichen Normalvektor mit dem 2. Vektor (v) wieder skalar, ergibt sich 4 und nicht 0.
Du solltest also das "Umkehren" eines Vektors und die Ermittling des Normalvektoren sorgfältiger durchführen.

mY+

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