Schwache Gesetz

19.01.2010, 23:27	hhuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwache Gesetz Hallo: unter der Thema ( schwache Gesetz der großen Zahlen) ist meine Frage Seien $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge von unabhängigen identischverteilten Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray} (\Omega,A,P) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu:=E[X_1] , \sigma^2 := Var(X_1)< \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ({\sigma^2}{\neq}0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_n:=X_1 +X_2+...+X_n \end{eqnarray}$ Zeigen Sie ,dass das schwache Gesetz der großen Zahlen für : a) $\begin{eqnarray} (Y_n)_{n\in{N}} \end{eqnarray}$ nicht erfüllt ist. b) $\begin{eqnarray} (a_nY_n)_{n\in{N}} \end{eqnarray}$ erfüllt ist , falls $\begin{eqnarray} a_n \rightarrow 0 (n\rightarrow \infty) \end{eqnarray}$
20.01.2010, 19:32	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Gesetz o.B.d.A kann man annehmen, dass die ZVen zentriert sind, das heiß einen EW von 0 haben. Bei a) ist zu zeigen, dass ein epsilon>0 existiert, s.d. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P \left( \left\| \frac {\sum_{i=1}^n Y_i} {n} \right\| > \epsilon \right) > 0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \frac {\sum_{i=1}^n Y_i} {n}= \sum_{i=1}^n \frac{(n+1-i)}{n}X_i \end{eqnarray}$ Was für Ansätze fallen dir ein um diese Aufgabe zu lösen?
20.01.2010, 20:45	hhuu	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich schreiben $\begin{eqnarray} P{(\vert\frac{\sum_{i=1}^{n}Y_i}{n}\vert>\epsilon)} \end{eqnarray}$ mit Tshebyscheffs Ungleichung $\begin{eqnarray} P{(\vert\frac{\sum_{i=1}^{n}Y_i}{n}\vert>\epsilon)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leqslant {\frac{1}{\epsilon^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)^2=\frac{1}{\epsilon^2}E(\frac{1}{n}Y_n)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ? \end{eqnarray}$ dann kannich es nicht beenden
20.01.2010, 22:56	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tschebyscheff-Ungleichung bringt dir bei der a) recht wenig, da man zeigen soll, dass die Wahrscheinlichkeit größer 0 ist und die Tschebyscheff-Ungleichung eine Abschätzung nach oben liefert. Der Ansatz den ich also wählen würde wäre über eine geeignete Teilmenge. Da die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ i.i.d verteilt sind, ist $\begin{eqnarray} P(\left(\left\| \frac{\sum_{i=1}^{n} Y_i} {n} \right\| > \epsilon \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(\left(\left\| \frac{\sum_{i=1}^{n} iX_i} {n} \right\| > \epsilon \right) \end{eqnarray}$ Ein möglicher Ansatz wäre also die Menge $\begin{eqnarray} \left(\left\|\frac{\sum_{i=1}^{n} iX_i} {n} \right\| > \epsilon \right) \end{eqnarray}$ durch die Teilmenge $\begin{eqnarray} \left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1} iX_i} {n} \geq 0 , X_n > \epsilon \right) \cup \left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1} iX_i} {n} \leq 0 , X_n < \epsilon \right) \end{eqnarray}$ abzuschätzen.
21.01.2010, 00:44	hhuu	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe nicht genau verstanden , ich meine ,dass wie geht $\begin{eqnarray} (Y_n)_{n\in{N}} \end{eqnarray}$ nicht bezg. schwache Gesetz der großen Zahlen erfüllt
21.01.2010, 12:02	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nocheinmal: Zu zeigen ist, dass ein $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ existiert, s.d. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P \left( \left\| \frac{ \sum_{i=1}^n iX_i} {n} \right\| > \epsilon \right) > 0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} A_n:= \left( \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n-1} iX_i} {n} \geq 0, X_n > \epsilon \right) \cup \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n-1} iX_i} {n} \leq 0, X_n < \epsilon \right) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_n:= \left( \left\| \frac{ \sum_{i=1}^n iX_i} {n} \right\| > \epsilon \right) \end{eqnarray}$ Dann gilt hoffentlich offensichtlicherweise, dass $\begin{eqnarray} A_n \subset B_n \end{eqnarray}$ und somit auch $\begin{eqnarray} P(B_n) \geq P(A_n) \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Falls man also zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(A_n) > 0 \end{eqnarray}$ , dann ist man fertig.
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