Anfangswert der homogenen DGL auf inhomogene übertragen

20.01.2010, 10:53

Duedi

Anfangswert der homogenen DGL auf inhomogene übertragen

Hi!
Ich habe zurzeit ein Verständnisproblem zum Zusammenhang zwischen der linearen, inhomogenen Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} F(y,y',y'',y^{(3)},y^{(4)}) = G(t) \end{eqnarray*}$

und ihrem homogenen Äquivalent

$\begin{eqnarray*} F(y,y',y'',y^{(3)},y^{(4)}) = 0 \end{eqnarray*}$

Wir sind in der Übung folgendermaßen vorgegangen:
Wir haben 4 linear unabhängige Lösungen ( $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray*}$ )der homogenen und eine partikuläre Lösung ( $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ) der inhomogenen DGL gefunden und damit die allgemeine Lösung aufgestellt mit:

$\begin{eqnarray*} x(t) = \alpha x_1(t)+\beta x_2(t)+\gamma x_3(t)+\delta x_4(t) + \xi(t) \end{eqnarray*}$

Soweit alles klar. Um jetzt noch die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma,\delta \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, wird die inhomogene Lösung mit Anfangswerten beschickt und dann in die Lösung eingesetzt, also:

$\begin{eqnarray*} x(t_0) = \alpha x_1(t_0)+\beta x_2(t_0)+\gamma x_3(t_0)+\delta x_4(t_0) + \xi(t_0) \stackrel{!}{=} x_0 \end{eqnarray*}$

Und dasselbe dann für $\begin{eqnarray*} x'(t_0) \stackrel{!}{=} x_0' \end{eqnarray*}$ etc.
Doch stattdessen hat unser Tutor einfach die homogene Lösung und die homogene DGL (die dann autonom wurde) betrachtet, also:

$\begin{eqnarray*} x(0) = \alpha x_1(0)+\beta x_2(0)+\gamma x_3(0)+\delta x_4(0) \stackrel{!}{=} x_0 \end{eqnarray*}$ [/latex]

Das wurde dann natürlich viel einfacher. Aber warum ist das möglich?

20.01.2010, 23:47

Abakus

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RE: Anfangswert der homogenen DGL auf inhomogene übertragen
Hallo!

Vielleicht liegt es an speziellen Eigenschaften der betrachteten Aufgabe oder soll das allgemein so gehen?

Grüße Abakus smile

21.01.2010, 00:09

Duedi

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Er hat das eher allgemein begründet, konnte aber nicht genaues sagen. Es hat jedenfalls den Anschein gemacht, als gelte das immer.

23.01.2010, 00:58

Abakus

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Zitat:

Original von Duedi
Er hat das eher allgemein begründet, konnte aber nicht genaues sagen. Es hat jedenfalls den Anschein gemacht, als gelte das immer.

So richtig schlau werde ich da nicht draus. Wieso kommt er von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ zB auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ beim einzusetzenden Wert?

Am Besten fragst du nochmal nach, wie der Zusammenhang sein soll.

Ansonsten lässt sich das Ganze ja leicht an Beispielen (zB mit nur einer Ableitung) überprüfen.

Grüße Abakus smile

23.01.2010, 01:26

Duedi

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Zitat:

Original von Abakus
So richtig schlau werde ich da nicht draus. Wieso kommt er von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ zB auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ beim einzusetzenden Wert?

Da er den Inhomogenitätsfaktor weggelassen hat, wurde die Dgl autonom, also kann man ja z. B. $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ annehmen.

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