Teilung von Komplexen Reihen in Real und Img Teil

20.01.2010, 12:08

Nerto

Teilung von Komplexen Reihen in Real und Img Teil

Ich soll zeigen ob komplexe Reihen konvergieren, dazu wollte ich die Reihe in Real und Img zerlegen.
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac{i^k}{k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k}}{2k} + i\cdot\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{2k-1} \end{eqnarray*}$

aber darf ich das überhaupt,denn ich darf Reihen nur umordnen wenn sie absolut konvergieren,was hier ja nicht der Fall ist (ich hab hier aber auch Forum gesucht, da teilen viel auch die Reihe in Real und Img Teil).

Wie ist denn die Begründung für diesen Schritt?

Weil wenn ich den Schritt gemacht habe, konvergiert die beiden Reihen nach Leibniz Kriterium.

Mfg Nerto

edit:
Ich hätte spontan gesagt, weil man die nicht addieren kann ^^

20.01.2010, 16:12

tmo

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RE: Teilung von Komplexen Reihen in Real und Img Teil

Zitat:

Original von Nerto
aber darf ich das überhaupt,denn ich darf Reihen nur umordnen wenn sie absolut konvergieren,was hier ja nicht der Fall ist

Du darfst aber auf jeden Fall endliche Summen umordnen wie du willst.

D.h. arbeite mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{i^k}{k} \end{eqnarray*}$ und zerlege dies in Imaginär- und Realteil. Dann bist du auf jeden Fall auf der sicheren Seite.

20.01.2010, 19:05

Nerto

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RE: Teilung von Komplexen Reihen in Real und Img Teil
bin mir leider noch nicht im klaren wie ich das aufschreiben soll, soll ich einfach von \sum_{k=1}^\n \frac{i^k}{k} umordnen dann den Grenzwert bilden.

Ich steh auf dem Schlauch -.-

20.01.2010, 19:42

system-agent

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Du könntest auch feststellen, dass $\begin{eqnarray*} i^k \end{eqnarray*}$ die "Periode" 4 hat. Schreib es mal auf.
Dann teile die endlich Summe bis $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf in:
-> alle $\begin{eqnarray*} k\leq N \end{eqnarray*}$ mit k durch 4 teilbar
-> alle $\begin{eqnarray*} k\leq N \end{eqnarray*}$ mit k lässt Rest 1 bei Division durch 4
-> alle $\begin{eqnarray*} k\leq N \end{eqnarray*}$ mit k lässt Rest 2 bei Division durch 4
-> alle $\begin{eqnarray*} k\leq N \end{eqnarray*}$ mit k lässt Rest 3 bei Division durch 4

20.01.2010, 20:50

kolto

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kann man nicht quotientenkriot verwenden?

demnach ist |(i^(k+1))/(k+1))*(k/(i^k))|=|ik|/|k+1|=k/(k+1) für k gegen unendlich geht das gegen 1 die reihe konvergiert also nicht. wenn das richtig ist Augenzwinkern

20.01.2010, 21:05

Nerto

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Zitat:

Original von kolto
kann man nicht quotientenkriot verwenden?

demnach ist |(i^(k+1))/(k+1))*(k/(i^k))|=|ik|/|k+1|=k/(k+1) für k gegen unendlich geht das gegen 1 die reihe konvergiert also nicht. wenn das richtig ist Augenzwinkern

Du kannst mit QK nur zeigen das ne Reihe konvergiert und nicht das sie divergiert, denn QK ist hinreichendes Kriterium nicht notwendiges (Beispiel : $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ )

@System-Agent

Das hab ich auch feststellt und gezeigt, aber das Problem ist für mich einfach das ist im nächsten Schritt ein Umordnung mache und da die Reihe nicht absolut konvergiert, ist das doch falsch oder?

20.01.2010, 21:38

Leopold

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Du darfst eine komplexe Reihe getrost in ihren Real- und Imaginärteil zerlegen. Wenn die komplexe Reihe konvergiert, dann konvergieren auch ihr Real- und Imaginärteil und umgekehrt, und es besteht Gleichheit. Hier also

$\begin{eqnarray*} \left( 0 + \frac{1}{1} \cdot \operatorname{i} \right) + \left( - \frac{1}{2} + 0 \cdot \operatorname{i} \right) + \left( 0 - \frac{1}{3} \cdot \operatorname{i} \right) + \left( \frac{1}{4} + 0 \cdot \operatorname{i} \right) + \left( 0 + \frac{1}{5} \cdot \operatorname{i} \right) + \left( - \frac{1}{6} + 0 \cdot \operatorname{i} \right) + \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( 0 - \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{4} + 0 - \frac{1}{6} + \ldots \right) + \operatorname{i} \cdot \left( \frac{1}{1} + 0 - \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{5} + 0 + \ldots \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \pm \ldots \right) + \operatorname{i} \cdot \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \mp \ldots \right) \end{eqnarray*}$

Diese ganzen Umformungen erfolgen vorbehaltlich Konvergenz. Da aber Real- und Imaginärteil nach dem Leibnizschen Kriterium (gegen bekannte Grenzwerte) konvergieren, konvergiert auch die komplexe Reihe.

Man kann allgemein zeigen, zum Beispiel mit Abelscher Summation, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k} \ \ \mbox{für} \ \ |z| \leq 1, \ z \neq 1 \end{eqnarray*}$

konvergiert, und es gilt mit $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ als dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k} = - \log(1-z) \end{eqnarray*}$

Speziell für $\begin{eqnarray*} z = \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{i}^k}{k} = - \log(1-\operatorname{i}) = - \frac{1}{2} \ln 2 + \operatorname{i} \cdot \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

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