Ableitungen, (exp-Funktion)

20.01.2010, 16:48

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitungen, (exp-Funktion)

Wie immer mal erstmal die komplette Aufgabe:

a) Beweisen Sie mit Hilfe des Grenzwerts

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\exp(h)-1}h \end{eqnarray*}$

und der Funktionalgleichung, dass die Exponentialfunktion überall differenzierbar ist und

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R : \exp'(x) = \exp(x) \end{eqnarray*}$ gilt.

(Hinweis Sie dürfen die allgemeine Ableitungsregel für Potenzreihen nicht benutzen.)

b) Es seien $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge, $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei n-mal differenzierbare Funktionen. Zeigen sie, dass auch die Produktfunktion: $\begin{eqnarray*} f\cdot g: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ n-mal differenzierbar ist und

$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Also bei a) steht noch hinter, "Blatt ... aufgabe ..." das war die Aufgabe, wo wir den Grenzwert berechnen sollten, der ja 1 ist.

Eine Fkt. ist ja differenzierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac {f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert.
Nur weiß ich nicht, wie mich der oben beschriebene Grenzwert weiterhelfen soll?! der zeigt ja nur, dass f in 0 differenzierbar ist.
Genauso frag ich mich, was ich mit der Funktionalgleichung anfangen soll. Welcher denn? Gibt es nicht x-beliebige und verschiedene Funktionalgleichungen?

bei b) frag ich mich auch, wie ich das zeigen soll/kann, dass eine Funktion nur n-mal differenzierbar ist, bzw. dann das Produkt 2er n-mal differenzierbarer.
~> Deswegen weiß ich auch nicht, was ich mit der Summe anstellen soll unglücklich

unglücklich

Wär cool, wenn mir da (wieder mal) jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Danke im vorraus!

20.01.2010, 17:11

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \exp(x)'=\underset{h\neq0}{\underset{h\to0}{\lim}}\frac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h}=\underset{h\neq0}{\underset{h\to0}{\lim}}\frac{\exp(x)\exp(h)-\exp(x)}{h}=??? \end{eqnarray*}$

20.01.2010, 17:11

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (1).
Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ fest.
Dann musst du
$\begin{eqnarray*} \frac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h} \end{eqnarray*}$
untersuchen. Nun gilt aber $\begin{eqnarray*} \exp(x+h)=\exp(?)\exp(?) \end{eqnarray*}$ .

Edit: zu spät.

20.01.2010, 17:20

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaah danke danke danke - also:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0} \frac{\exp(x)\cdot (\exp(h) -1)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0}\exp(x)\cdot \frac{(\exp(h) -1)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \to 0}\exp(x)\cdot 1 \end{eqnarray*}$ (schon bewiesen Blat xx)

$\begin{eqnarray*} = \exp(x) \end{eqnarray*}$

?!

20.01.2010, 17:26

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

In der zweitletzten Zeile hat der Limes nichts mehr verloren, aber sonst OK.

20.01.2010, 17:32

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok stimmt sonst würde man ja auch nicht auf die 1 da kommen ne? =)

eeeeevtl. noch ne idee, wie man dann "und der Funktionalgleichung" zeigt, dass die exp-fkt. überall differenzierbar ist?
bzw. was damit gemeint sein könnte?

(morgen is wieder Vorlesung, da werd ich den Prof eh direkt drauf anhauen, weil i.wie gibt es ja nicht nur "die eine" Funktionalgleichung oder?

Anzeige

20.01.2010, 17:34

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch die Funktionalgleichung benutzt:
$\begin{eqnarray*} \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y) \end{eqnarray*}$ .

20.01.2010, 17:42

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

achsooo achsoo aaaahhh Forum Kloppe

Forum Kloppe

und damit hab ich ja auch gezeigt, dass sie überall differenzierbar ist richtig? Weil

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \exp '(x) = \exp(x) \end{eqnarray*}$

20.01.2010, 19:22

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

23.01.2010, 11:48

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitungen, (exp-Funktion)
Also danke nochmal für die Hilfe bei a) smile

smile

b) Es seien $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge, $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei n-mal differenzierbare Funktionen. Zeigen sie, dass auch die Produktfunktion: $\begin{eqnarray*} f\cdot g: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ n-mal differenzierbar ist und

$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich hab mich jetzt mal (auch hier durch einiges gelesen) ... i.wie aber anscheinend nicht das richtige :/
Das erste Problem, dass sich mir stellt ist ja schon, dass ich nicht weiß, wie ich zeigen soll, dass eine Funktion n-mal diffbar ist. bzw. dann sogar das Produkt 2er Funktionen die n-mal diffbar sind.
verwirrt

verwirrt

Kann mir da vielleicht eventuell jemand nen Ansatz oder nen Tipp oder i.wie sowas geben dazu? (Vielleicht auch nen Link zum einlesen)

23.01.2010, 13:28

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit einer Induktion auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
Anfang: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .
Induktionsschritt:
Angenommen, $\begin{eqnarray*} f\cdot g \end{eqnarray*}$ ist (n-1)-mal differenzierbar und es gilt die angegebene Formel. Nun was sagt die Produktregel zu den einzelnen Summanden? Beachte auch
$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{(n)}=((f\cdot g)^{(n-1)})' \end{eqnarray*}$ .

23.01.2010, 20:58

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, dass ich mich erst jetzt wieder melde.. :X

Also mir bereitet ja schon der Induktionsanfang ein Problem O.o

Es sei denn, was mir grad auffallt $\begin{eqnarray*} f^{(0)} = 1 \end{eqnarray*}$ oder? und nicht so, wie ich gerade dachte die eigtl. Funktion.

Da stellt sich mir erstmal die Frage:

ist $\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung oder "(f mal g) hoch n"? *kopfkratz*

Weil wenn so wie ich ja eigtl. dachte damit die Ableitung gemeint ist, dann ist doch f^(0) die eigtl Funktion f(x) oder nicht? :/

23.01.2010, 22:31

Kokett

Auf diesen Beitrag antworten »

IS: n -> n+1

$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{n+1} = (f\cdot g)^{n} + \sum\limits_{k=n+1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} f^{k} g^{n-k} \end{eqnarray*}$

wie gehts dann weiter? ich komm auf keinen grünen zweig auch net mit dem hinweis...

24.01.2010, 08:39

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist alles nicht richtig.

Nehmen wir eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Dann schreibt man
$\begin{eqnarray*} h' \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h^{(1)} \end{eqnarray*}$ für die 1. Ableitung.
$\begin{eqnarray*} h'' \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h^{(2)} \end{eqnarray*}$ für die 2. Ableitung.
$\begin{eqnarray*} h''' \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h^{(3)} \end{eqnarray*}$ für die 3. Ableitung.
$\begin{eqnarray*} h^{(2010)} \end{eqnarray*}$ für die 2010. Ableitung.

Und du hast recht, $\begin{eqnarray*} f^{(0)}=f \end{eqnarray*}$ .

Beachte, im Unterschied zu einer Potenz, dass die Hochzahl eingeklammert ist.

Das bedeutet:
$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{(1)}=(f\cdot g)'=? \end{eqnarray*}$
also wie leitet man ein Produkt von zwei Funktionen ab?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{n+1} = (f\cdot g)^{n} + \sum\limits_{k=n+1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} f^{k} g^{n-k} \end{eqnarray*}$

Das ist leider ganz falsch.
Führe doch meinen Hinweis aus:
$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{(n)}=((f\cdot g)^{(n-1)})' \end{eqnarray*}$
und was weisst du denn nach Induktionsannahme über $\begin{eqnarray*} (f\cdot g)^{(n-1)} \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2010, 12:20

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt grade auf, dass da ja die Produktregel zum vorschein kommt .. Ich kam dann nämlich (also wenn ich mal n=1 eingesetzt hatte) nicht auf, dass was ich erwartet habe..
nämlich:
$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(1)} = f^{(1)} \cdot g^{(1)} \end{eqnarray*}$

manchmal is schon echt schlimm LOL Hammer

LOL Hammer

nun mal zurück zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(1)} = f^{(1)}g + fg^{(1)} \end{eqnarray*}$

Den Tipp führe ich gleich mal aus (mit n-1), wenn ich mich dazu aufgerappelt habe mal aufzustehen xD.
Danke schonmal.

24.01.2010, 15:31

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab da jetz maln bissl rumgewerkelt und eingesetzt usw.

also für n=1 hab ichs gezeigt.

Annahme für (n-1) gilts.. dann:

$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = (f\cdot g)^{(n-1)} + \sum\limits_{k=n}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (f\cdot g)^{(n-1)} + 1 \cdot f^{(n)} \cdot g \end{eqnarray*}$

und weiter komm ich dann nicht .. insofern meine Schlussfolgerung ü.haupt richtig is

bzw weiß ich nicht, wie ich sinnvoll einbaue, dass $\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \left( (f \cdot g)^{(n-1)} \right)' \end{eqnarray*}$ nzw. wie mich das dann weiterbringt

24.01.2010, 22:52

eben

Auf diesen Beitrag antworten »

jo hab auch kein plan...
aber interessieren würds mich, wie das geht!

25.01.2010, 09:30

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Explo
bzw weiß ich nicht, wie ich sinnvoll einbaue, dass $\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \left( (f \cdot g)^{(n-1)} \right)' \end{eqnarray*}$

Wieso setzt du denn hier nicht einfach mal ein?

$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \left( (f \cdot g)^{(n-1)} \right)'=\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}f^{(k)}g^{(n-1-k)}\right)'=? \end{eqnarray*}$

Nutze, dass die Ableitung einer Summe die ... der Ableitungen ist.
Was passiert mit einer multiplikativen Konstante vor einer Funktion beim ableiten?
Nun Produktregel. Indices verschieben. Beachte $\begin{eqnarray*} n-1-k=n-(k+1) \end{eqnarray*}$ .

25.01.2010, 13:29

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da wollt ich grad aufm Weg zur Uni nochn bissl dran rumwerkeln ... was passiert da is der einzige Kulli den ich bei hatte alle Big Laugh

Big Laugh

Dafür dann jetzt hier:

$\begin{eqnarray*} (f \cdot g)^{(n)} = \left( (f \cdot g)^{(n-1)} \right)'=\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}f^{(k)}g^{(n-1-k)}\right)'= \sum\limits_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}f^{(k)}g^{(n-1-k)} + \sum\limits_{k=n-1}^{n}{n\choose n-1}f^{(n-1)}g^{(1)} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

25.01.2010, 14:01

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf? Was soll diese zweite Summe bedeuten?
Die Ableitung ist linear, das heisst du musst zunächst
$\begin{eqnarray*} (f^{(k)}g^{(n-1-k)})' \end{eqnarray*}$ berechnen.

25.01.2010, 17:35

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich dachte das als die Ableitung von 0 bis n-1 und dann die Ableitung von n-1 bis n

Ehrlich gesagt, hab ich kA, wie ich $\begin{eqnarray*} \left( f^{(k)}g^{(n-1-k)}\right)' \end{eqnarray*}$ ableiten soll unglücklich

unglücklich

25.01.2010, 23:33

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Produktregel !
Zuerst wird noch einmal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abgeleitet, das bewirkt statt einem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ also ein $\begin{eqnarray*} k+? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bleibt unverändert.
Dann kommt ein Plus und dahinter wird $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gelassen und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ abgeleitet und das bewirkt statt einem $\begin{eqnarray*} n-1-k \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n-1-k+? \end{eqnarray*}$ .

26.01.2010, 01:01

Explo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetz wo ich das so lese klingt das auch einleuchtend .. nur halt selbst das mal zu sehen x_X

also

$\begin{eqnarray*} \left( f^{(k)}g^{(n-1-k)}\right)' = f^{(k+1)}g^{(n-1-k)} + f^{(k)}g^{(n-1-(k+1))} = f^{(k+1)}g^{(n-1-k)} + f^{(k)}g^{(n-2-k))} \end{eqnarray*}$

richtig?

26.01.2010, 01:59

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Nein, es stimmt nicht beim zweiten Summanden:
$\begin{eqnarray*} (g^{(n-1-k)})'=g^{(n-1-k+1)} \end{eqnarray*}$ ,
da die "Hochzahl" angibt wie oft man abgeleitet hat.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »