Äußere Normale

20.01.2010, 18:42	Benny83	Auf diesen Beitrag antworten »
Äußere Normale Hi, folgende kleine Frage. Wenn ich Den Fluss durch einen (Einheits)Würfel ([0,1]x[0,1]x[0,1]) ohne Satz von Gauss berechenen möchte, dann muss ich den Fluss durch alle 6 Seiten des Würfels berechnen. Hierzu benötige ich eine geeignete Parametrisierung so dass mein Normalenvektor (äußere Normale) für z.B. die Vorderseite 1 und die Rückseite -1 ergibt. Also das Vektorprodukt meiner Ableitugen in u bzw v Richtung 1 bzw. -1 ergibt. Die Lösung ist für die Vorderseite (1,u,v) und die Rückseite (0,v,u). Jetzt ist meine Frage, wie erkläre ich mir diese Parametrisierung der Rückseite also den Vertausch der beiden Komponenten. Die Antwort war, weil es ja ein Rechtssystem sein muss. Hmmm... hab mir vieleicht gedacht dass ich eben wegen dem Rechtsystem die Ursprünglich z und y Achse nach links "kippen" muss (also um die x Achse mathematisch positiv um 90° drehen) bevor ich die x Achse um 180° Grad drehe. (Konstruktiv gesprochen) Ich weis hört sich dämlich an, ist es wahrscheinlich auch ... Hilfe Und Danke schonmal im Voraus, LG, Benny
21.01.2010, 00:09	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äußere Normale Hallo! So ganz sehe ich dein Problem nicht. Du wirst ja alle 6 Seitenflächen getrennt und nacheinander betrachten, nehme ich an. Und der Normalenvektor zeigt nach außen dabei. Grüße Abakus
21.01.2010, 12:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lege den Würfel so, dass er von folgenden Vektoren aufgespannt wird $\begin{eqnarray} \vec e_1=(1\|0\|0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e_2=(0\|1\|0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e_3=(0\|0\|1) \end{eqnarray}$ Es gibt 6 Seitenflächen (=Quadrate) mit folgenden Parameterdarstellungen Seitenfläche auf 12-Ebene: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u \\ v \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und "gegenüberliegende" Seitenfläche: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u \\ v \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Seitenfläche auf 23-Ebene: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und "gegenüberliegende" Seitenfläche: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Seitenfläche auf 31-Ebene: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u \\ 0 \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und "gegenüberliegende" Seitenfläche: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u \\ 0 \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hierbei ist die Orientierung der Seitenflächen noch nicht berücksichtigt. Wenn man den Fluss durch den Würfel berechnet, zählt man den Fluss "von innen nach außen" meist positiv und den Fluss von "außen nach innen" negativ. Man kann es auch umgekehrt definieren. Das ist letztlich willkürlich. Wir definieren wie oben gesagt: Die Flüsse durch die 12-Ebene, die 23-Ebene und die 31-Ebene (also von außen nach innen)zählen wir negativ. Die Flüsse durch die 3 gegenüberliegenden Seiten zählen wir positiv (von innen nach außen). Wenn du also die einzelnen 6 Integrale berechnest, musst du bei den ersten 3 Integralen den Fluss einfach mit (-1) multiplizieren. Im 3D-Raum kann man das so einfach machen. Im n-dimensionalen Raum ist die Sache komplizierter und man kommt schnell durcheinander. Hat man z.B. einen n-dimensionalen Würfel, so hat dieser 2n "Seitenflächen", die ihrerseits jeweils (n-1) dimensionale Würfel darstellen. Hier arbeitet man dann mit Determinanten, um die Orientierung der "Seitenflächen" formal festzulegen. Soetwas spielt z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Rolle (4-dimensionaler Raum).
22.01.2010, 19:10	Benny83	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Danke für den Tip im 3D-Raum... D.h. dass ich ohne Skrupel mein Oberflächenelement mit (-1) multiplizieren darf... Deine Parameterdarstellung klingt schon einleuchtender. @Abakus Ja, schon klar dass der Normalenvektor nach aussen zeigt. Das Problem war halt eben die Richtung zu bestimmen. Bzw. die Parametrisierung so zu wählen dass die Richtung stimmt. LG, Benny

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