Gsv	Neue Frage »

14.10.2006, 11:12	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Gsv Hallo! Soll bei einer aufgabe zeigen, dass bei einer Matrix A das ESV konvergiert, das GSV aber nicht. ESV hab ich hinbekommen, beim GSV häng ich grad an den EW... also $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -1/2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1/2 & -1/2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hab ich nach der Standardzerlegung A=-L+D-R die Matrix zerlgegt und beim GSV ist definiert: N:=D, das ist hier grade die Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray} P:= L + R =\begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die iterationsmatrix ist $\begin{eqnarray} H= D^{-1} P = P \end{eqnarray}$ . hoffe ich hab das bis hierher alles richtig...? dann zu den EW: $\begin{eqnarray} det(Ix-H) = det\begin{pmatrix} x & -1/2 & -1/2 \\ 1 & x & 1 \\ -1/2 & -1/2 & x \end{pmatrix} = x^3-\frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ wenn ich das nun "=0" setze, bekomm ich keine lösung für x raus, aber ich möchte ja zeigen dass der spektralradius(H)>1 ist... wo liegt der fehler?? viele grüße kingskid
14.10.2006, 12:45	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab von dem Ganzen keine Ahnung, ich kann dir nur sagen, dass du dich am Ende verrechnet hast. Da müsste mMn $\begin{eqnarray} x^3+\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ rauskommen. Und da das dann ein Polynom dritten Grades ist, muss auch mindestens eine Nullstelle existieren! Durch Raten findet man z.B. $\begin{eqnarray} x_1=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du Polynomdivision machen und dann die anderen Nullstellen (falls existent) finden. Gruß MSS
14.10.2006, 16:15	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! vielen vielen dank, jetzt find ich die nullstellen und somit auch die ew. lg kingskid
14.10.2006, 16:54	Longfinger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es gibt ja nur eine reelle Nullstelle hier, inwiefern kann ich denn jetzt was über den Spektralradius sagen? Gruß Longfinger
14.10.2006, 18:17	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich richtig erinnere, ist das der Betragsmäßig größte Eigenwert. Wenn die EW komplex sind, nimmt man eben den komplexen Betrag, nicht den Absolutbetrag. mfG 20
15.10.2006, 12:39	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
yeap, man hat als eigenwerte $\begin{eqnarray} x_1 = -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2/3} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4} \sqrt{15} i \end{eqnarray}$ der Spektralradius ist dann $\begin{eqnarray} \rho(H) = 1 \end{eqnarray}$ viele grüße kingskid
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