Beispielaufgabe - Kurvendiskussion im R^n

20.01.2010, 19:04

KreislerIII

Beispielaufgabe - Kurvendiskussion im R^n

Hallo zusammen,
bei meinem Prüfungsvorbereitungen bin ich in Prüfungsprotokollen immer wieder auf eine Aufgabe gestoßen, die mein Prüfer wohl gerne stellt.
Leider stehe ich da total auf dem Schlauch, so dass es klasse wäre, wenn ihr mir hierbei helfen könntet.

Also es geht um Ana2-Stoff, konkret eine kleine Kurvendiskussion:

a) Gegeben is folgende Menge:
$\begin{eqnarray*} \Omega :=\left\{ \left( x_1,x_2 \right) \in \mathbb R^2 | x_1, x_2 \geq 0, x_1 \leq 5 - {x_2}^5 \right\} \end{eqnarray*}$
Die Frage ist: wie sieht diese Menge aus? Sie soll ungefährt skizziert werden.
In den Protokollen ist dann eine Skizze dabei, die einen Viertelkreis im ersten Quadranten zeigt.
Das ist nun mein Problem: Im ersten Quadranten ist klar (da beide x >= 0), aber ich kann mir einfach nicht herleiten, warum die Ungleichung eine Kreischeibe beschreibt.
Könntet ihr mir da auf die Sprünge helfen.

b) Zu obiger Menge ist eine Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} F: \Omega \rightarrow \mathbb R, F \in C^\infty \left( \Omega, \mathbb R \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F \left( x_1, x_2 \right) = x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$

Hier sollen nun Minima und Maxima bestimmt werden.
Ich bin in das Thema Kurvendiskussion im R^n noch nicht vernünftig eingearbeitet, daher wäre ich für ein "Kochrezept" dankbar, wie ich daran gehen kann.

Warum ich das jetzt für ne Prüfung wissen muss, aber so gar keine Ahnung davon hab, wie man daran geht: tja, das ist eine lange Geschichte, die mit einer sehr interessanten Studienordnung zusammenhängt...

Viele Grüße und schonmal vielen Dank
Kreisler III

20.01.2010, 19:39

system-agent

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Das ist kein Viertelkreis, es ist ein Stück von einer Parabel.
Fasse die Randlinie doch als Funktion auf:
$\begin{eqnarray*} x_1=5-x_2^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine Parabel [Blatt drehen!] und davon nimmst du eben nur das passende Stückchen.

Was muss denn gelten damit $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein Extrempunkt hat?

28.01.2010, 01:33

KreislerIII

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Sorry, dass ich erst jetzt antworte. Danke schonmal. Das mit der Parabel hat schonmal sehr geholfen (die Skizze auf den Prüfungsprotokollen war sehr schlecht Augenzwinkern

).
Aber du meintest doch sicher:
$\begin{eqnarray*} x_1 = 5 - {x_2}^5 \end{eqnarray*}$
Oder liege ich falsch?

zu b)
Wenn ich das richtig weiß, muss ich wie im eindimensionalen schauen, wo $\begin{eqnarray*} F' = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dazu ist es am einfachsten den Gradienten zu betrachten.
Wenn ich mich nicht vertue (es ist spät?) ist der Gradient
$\begin{eqnarray*} \nabla F(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \forall x \ne 0 \end{eqnarray*}$
Daraus würde ich jetzt mal schließen, dass die Funktion keine Extrema hat.

Oder habe ich hier einen kapitalen Fehler?

28.01.2010, 11:38

system-agent

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Zitat:

Original von KreislerIII
Aber du meintest doch sicher:
$\begin{eqnarray*} x_1 = 5 - {x_2}^5 \end{eqnarray*}$
Oder liege ich falsch?

Du liegst richtig Augenzwinkern

. Hatte die 5 als eine 2 gelesen.

Zitat:

Original von KreislerIII
zu b)
Wenn ich das richtig weiß, muss ich wie im eindimensionalen schauen, wo $\begin{eqnarray*} F' = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dazu ist es am einfachsten den Gradienten zu betrachten.

Ja.

Zitat:

Original von KreislerIII
Wenn ich mich nicht vertue (es ist spät?) ist der Gradient
$\begin{eqnarray*} \nabla F(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \forall x \ne 0 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Aber wieso darf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht auch Null sein?

Zitat:

Original von KreislerIII
Daraus würde ich jetzt mal schließen, dass die Funktion keine Extrema hat.

Das ist nicht richtig so.
Jetzt weisst du, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ keine Extrema hat [wie auch, es ist eine Ebene Augenzwinkern

].
Aber du betrachtest die Funktion nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , sondern auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Nun also zu überprüfen:
Gibt es Randextrema?

28.01.2010, 12:07

KreislerIII

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Das ist richtig. Aber wieso darf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht auch Null sein?

Ah, ok. Also ist $\begin{eqnarray*} \nabla F = 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Klar, das hatte ich vergessen.

Zitat:

Original von KreislerIII
Daraus würde ich jetzt mal schließen, dass die Funktion keine Extrema hat.

Das ist nicht richtig so.
Jetzt weisst du, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ keine Extrema hat [wie auch, es ist eine Ebene Augenzwinkern

Hmm, gibt es da spezielle Kriterien für? Bei mir im Skript finde ich nichts, also denke ich mal, dass ich bei 0 suche (da das ja die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} \nabla F (x) = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt) und dann mittels Hessescher Matrix überprüfe, ob es Maximum oder Minimum ist?
Bzw. letzters brauche ich hier nicht zu tun, man sieht ja direkt, dass $\begin{eqnarray*} F(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist und sonst nur positive Werte vorkommen. Daher wüde ich sagen: Minimum bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2010, 12:48

system-agent

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Zitat:

Original von KreislerIII
Ah, ok. Also ist $\begin{eqnarray*} \nabla F = 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Klar, das hatte ich vergessen.

Nein, das ist falsch.
Du hast doch eben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \nabla F(x)=(1,1) \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Im eindimensionalen musst du die Randwerte des Intervalls einsetzen um zu überprüfen, ob ein Extremum am Rande vorliegt.

Hier ist der Rand eben zwei Geradenstücke und ein Stück einer Parabel.
Zb. Für den "unteren" Rand gilt $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1\leq 5 \end{eqnarray*}$ .
Nun setze das in $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein und überprüfe wie im eindimensionalen.

Genauso mit den anderen beiden Rändern.

28.01.2010, 13:04

KreislerIII

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von KreislerIII
Ah, ok. Also ist $\begin{eqnarray*} \nabla F = 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Klar, das hatte ich vergessen.

Nein, das ist falsch.
Du hast doch eben gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \nabla F(x)=(1,1) \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Oh, klar. Hatte vergessen, dass die Variable beim differenzieren ja hier rausfällt.

Aber ist denn meine andere Argumentation falsch, dass bei 0 ein Minimum sein muss, weil, ja alle anderen Funktionswerte positiv sind?

Die Ränder überprüfe ich dann später. Muss jetz auf die verschneite Autobahn.

28.01.2010, 13:12

system-agent

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Ich sage nicht, dass du unrecht hast mit dem Minimum.
Deine Argumentation ist auch OK.
Nur um die genaue Lage des Maximums zu finden musst du wohl trotzdem die Ränder betrachten Augenzwinkern

29.01.2010, 18:40

KreislerIII

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Zitat:

Original von system-agent
Ich sage nicht, dass du unrecht hast mit dem Minimum.
Deine Argumentation ist auch OK.
Nur um die genaue Lage des Maximums zu finden musst du wohl trotzdem die Ränder betrachten Augenzwinkern

Ok, die werde ich jetzt wohl noch mal eingehender betrachten müssen...aber wie?
Mein Gefühl sagt mir, dass bei (5,0) das Randmaximum ist, aber wie bekomme ich das rechnerisch raus?
Muss ich das mit den Lagrange-Multiplikatoren machen?
Das Kapitel käme beim Lernen als nächstes Augenzwinkern

29.01.2010, 20:50

system-agent

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Wieso denn so kompliziert?

Ich habe dir schon gesagt, wie du den "unteren" Rand betrachten kannst:
Dort ist überall $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1\leq 5 \end{eqnarray*}$ [wieso dieser Bereich?].

Das heisst deine Funktion vereinfacht sich dort zu
$\begin{eqnarray*} f: [0,5]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1\mapsto F(x_1,0) \end{eqnarray*}$ .
Und wie du eine solche Funktion auf Extremstellen untersuchst sollte klar sein.
Aber vergiss auch hier die Randextrema nicht.

Ähnlich dann mit den anderen beiden Rändern.

10.02.2010, 14:27

KreislerIII

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So, jetzt einen Tag vor der Prüfung hab ich mir nochmal diese Aufgabe zu Gemüte geführt, nachdem ich die ganze Zeit andere Dinge am Lernen war.

Zitat:

Original von system-agent
Ich habe dir schon gesagt, wie du den "unteren" Rand betrachten kannst:
Dort ist überall $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1\leq 5 \end{eqnarray*}$ [wieso dieser Bereich?].

Ok, dieser Bereich ist klar, auch dass mit $\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ dort $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ Werte von 0 bis 5 annehmen kann. Das folgt ja direkt aus der Nebenbedingung.
Dort also Maximum $\begin{eqnarray*} max_1 F(x) = 5 \end{eqnarray*}$

Am 2. Rand, also $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \in [0, \sqrt[5]{5}] \end{eqnarray*}$ , ist die Betrachtung auch klar.
Dort Maximum $\begin{eqnarray*} max_2 F(x) = \sqrt[5]{5} \end{eqnarray*}$

Der dritte Rand umfasst $\begin{eqnarray*} \left\{ (x_1,x_2) | x_1 = 5 - {x_2}^5 \right\} \end{eqnarray*}$ , oder?
Dann kann ich also [x_1] mit [x_2] ausdrücken und habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = - {x_2}^5 + x_2 + 5 \end{eqnarray*}$ .

Diese kann ich normal diskutieren und finde ein Maximum bei $\begin{eqnarray*} x_2 = \sqrt[4]{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_1 = 5- \sqrt[4]{\frac{1}{5}}^5 \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} max_3 F(x) = 5 - \sqrt[4]{\frac{1}{5}}^5 + \sqrt[4]{\frac{1}{5}} \approx 4,4656 \end{eqnarray*}$

Damit ist das Maximum wie bereits intuitiv gedacht $\begin{eqnarray*} max_1 = 5 \end{eqnarray*}$ .

Aber gerade der dritte Rand ist doch schlecht in einer mündlichen Prüfung schnell zu berechnen, oder?
Wie kann ich denn da schnell sehen, dass das Maximum vom ersten Rand stimmt?

Viele Grüße und Danke schonmal

10.02.2010, 16:41

system-agent

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Man könnte mit Höhenlinien [=Niveaulinie] argumentieren und, dass der dritte Rand die Höhenlinie auf der $\begin{eqnarray*} (5,0) \end{eqnarray*}$ sitzt, nicht mehr trifft.

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