Grenzwert

14.10.2006, 12:52

Marie123

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Grenzwert

Wenn ich überprüfen soll ob, $\begin{eqnarray*} \frac{1-2n}{3n} \end{eqnarray*}$ muss ich dann Monotonie und Beschränktheit prüfen, um dann darauf zu schließen, dass sie auch konvergent ist, oder muss ich eine Vermutung des Grenzwertes aufstellen und diesen dann prüfen?

14.10.2006, 12:55

derkoch

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"wo gegen soll n denn überhaupt laufen"?

14.10.2006, 12:56

brain man

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Gib erstmal n an.

Edit : Zu langsam...

14.10.2006, 12:57

Longfinger

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Du willst sicher den Grenzwert berechnen für n gegen unendlich?
Schreibt den Bruch doch einfach um:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-2n}{3n} = \frac{1}{3n} - \frac{2n}{3n} \end{eqnarray*}$

Gruß
Longfinger

14.10.2006, 12:59

Marie123

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Also ohne Monotonie und Beschränktheit...
Und die Vermutung wäre dann, dass der Grenzwert=0 ist?

14.10.2006, 13:01

Longfinger

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Du musst, wie mehrmals erwähnt, erstmal sagen woegegen n laufen soll!

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14.10.2006, 13:03

brain man

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Also, da du die Aufforderung schon mehrmals ignoriert hast.

Was ist in deiner Aufgabe n?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to ?} \end{eqnarray*}$

14.10.2006, 13:04

Marie123

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hm...in der Aufgabe steht aber nichts:

Zeige mit Hilfe der Definition, dass die Folge (s.o.) konvergent ist.
Von welchem Glied ab unterscheiden sich die Folgenglieder vom Grenzwert um weniger als 0.01?

14.10.2006, 13:07

JochenX

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Zitat:

Original von Marie123
Und die Vermutung wäre dann, dass der Grenzwert=0 ist?

wie kommst du auf den Grenzwert 0?
Schau noch einmal genau hin, du hast nach Auseinanderziehen des Bruches zwei getrennte Folgen, die beide konvergieren.

Dann ist der Gesamtlimes die Summe der beiden Einzellimites und die kannst du schnell und einfach berechnen.

NULL kommt da aber NICHT raus.

14.10.2006, 13:14

Marie123

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Beim Auseinandergezogenen Bruch geht die erste Folge aber gegen 0...und die zweite...hab ich leider keine Ahnung.Deshalb hab ich einfach 0 geraten...

14.10.2006, 13:16

derkoch

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stichwort : kürzen , zusammenfassen oder vereinfachen, such dir aus , wie du es nennen willst!

14.10.2006, 13:24

Marie123

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okay dann ist der Grenzwert -2/3?

14.10.2006, 13:25

Longfinger

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Außerdem solltest du uns erstmal deine Definition von Folgenkonvrgenz aufschreiben. Denn wenn du das mit der Def. beweisen sollst, dann sollst du die auch anwenden und nicht so wie wir das hier gemacht haben. ich vermute eure Def. lautet:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \forall n > N: \mid x_{n}-x_{0} \mid < \epsilon \Leftrightarrow x_{n} \rightarrow x_{0} \end{eqnarray*}$ ?

14.10.2006, 13:26

Apokalypse

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Ich setzte jetzt Voraus, dass du folgende definition kennst.

Definition: Eine Zahl $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ heißt "Grenzwert einer Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ "genau dann, wenn es zu jeder Zahl $\begin{eqnarray*} \epsilon \in \mathbb R ^{>0} \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} X(\epsilon) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} n>X(\epsilon)\Rightarrow \mid g-a_n\mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

Das wurde uns so von unserer Lehrerin diktiert.

In deinem Beispeil ist $\begin{eqnarray*} a_n =\frac{1-2n}{3n} \end{eqnarray*}$

Dein Epsilon ist $\begin{eqnarray*} 0.01 \end{eqnarray*}$

Jetzt stellst du noch eine Vermutung über den Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf, der nicht null ist setzt alles in $\begin{eqnarray*} \mid g-a_n\mid <\epsilon \end{eqnarray*}$ ein und löst nach n auf
LG Apokalypse

EDIT: ich war mal wieder zu langsam

14.10.2006, 13:27

PS

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P.S.: deine Vermutung war richtig, jetzt siehst du es hoffentlich auch sofort.

14.10.2006, 13:28

Marie123

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Ja das hab ich schon in meine Formel eingesetzt und nach n aufgelöst...hoffe jetzt nur dass der Grenzwert auch wirklich -2/3 ist...

14.10.2006, 13:30

Longfinger

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Ja, stimmt.

15.10.2006, 14:58

Marie123

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Noch eine kleine Fortsetzung...

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} - a = \in \end{eqnarray*}$

dann setzt ich 0.01 für $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ein und löse nach n auf. Oder?
Was sagt mir das Ergebnis denn dann? Woher weiss ich ob sie konvergent ist?

Entschuldigt die grausame Formel, besser hab ichs nicht hinbekommen.
Liebe Grüße, Marie

15.10.2006, 15:00

Marie1234

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Und sogar ein Fehler drin, muss heißen $\begin{eqnarray*} < \in \end{eqnarray*}$ ...

15.10.2006, 15:20

Apokalypse

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Meinst du das hier?
Deine Formel kann man leider ganz schlecht entziffern und deshalb muss ich nochmla nachfragen.

$\begin{eqnarray*} \left|-\frac{2}{3}- \frac{1-2n}{3n}\right| < 0,01 \end{eqnarray*}$

EDIT: Wofür steht eigentlich das a in deiner Gleichung???

15.10.2006, 15:45

Marie123

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ja genau das mein ich, tut mir leid...
aber eigentlich muss ich ja schon bevor ich 0,01 einsetzte erkennen, ob die Folge konvergent ist oder nicht?

15.10.2006, 16:04

Apokalypse

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Am Anfang stellst du eine Vermutung auf, was für einen Grenzwert deine Folge hat. Das muss aber noch bewiesen werden und hier kommt die Definition des Grenzwertbegriffs für Zahlenfolgen ins Spiel. Ich vereinfache den jetzt mal:
Du setzt deine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und deine Grenzwertvermutung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} \left|g-a_n\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ ein.
Nun löst du den Term mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf. Wenn dir das gelingt und da steteht am Ende so etwas wie $\begin{eqnarray*} n>??? \end{eqnarray*}$ (die fragezeichen stehen für den Rest des Termes der dir bei den Umformungen übrigbleibt), dann und nur dann ist deine Grenzwertvermutung richtig und ist tatsächlich der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

EDIT: Mein Beitrag ist ein bisschen an deiner Frage vorbeigegangen. Natürlich musst du schon vorher erkennen, ob die Folge konvergiert. Am einfachsten ist es bei den meisten Folgen einfach einen sehr großen Wert für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einzusetzen und so zu einer Grenzwertvermutung zu gelangen! smile

smile

15.10.2006, 16:30

Marie123

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Danke, das hat mir weitergeholfen. Ich war mir nur nicht sicher, ob ich nach der Termumformung schon mit dem Beweis fertig bin, da ich noch nie etwas 'falsches' beweisen musste.

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