Diagonalisierbarkeit

20.01.2010, 21:44

Physinetz

Diagonalisierbarkeit

Guten abend allerseits,

habe mit folgender Aufgabe zu "kämpfen":

Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie komplexe und reelle Eigenwerte und Eigenvektoren

War kein Problem, habe raus:

Eigenwerte: 1; i und -i

Und die zugehörigen Eigenvektoren

$\begin{eqnarray*} v_i=\begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{-i}=\begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1) Es gilt ja, dass es zu einem komplexen Eigenwert, auch immer den komplex konjugierten Eigenvektor gibt. Kann man auch irgendwie auf den Eigenvektor schließen wenn man ihn für einen komplexe Eigenwert hat, also kann man dann auch auf den zum komplex konjugierten Eigenwert gehörigen Eigenvektor schließen? Wie z.B. Vorzeichen umdrehen oder sowas?

b) Geben Sie, falls diagonalisierbar eine Transformationsmatrix an, die auf Diagonalgestalt transformiert.

2) Es stellt sich heraus, dass die Matrix A diagonalisierbar ist.

Doch wie finde ich nun die Transformationsmatrix?
Kann ich nun mit $\begin{eqnarray*} T^{-1}*A*T \end{eqnarray*}$ die Matrix A auf Diagonalform bringen?
Und T enthält eben die Eigenvektoren als Spalten? Die Reihenfolge der Spalten ist ja egal.
Und $\begin{eqnarray*} T^{-1 } \end{eqnarray*}$ wäre ja dann einfach die Inverese dazu, richtig?

Wichtig:
Falls nun mein T orthogonal wäre, dann könnte ich ja nun einfach für $\begin{eqnarray*} T^{-1 } \end{eqnarray*}$ meine transponierte nutzen, richtig? Und der Fall, dass T orthogonal herauskommt, ist dann gegeben, falls A symmetrisch ist, richtig?

3) Die Diagonalmatrix die ich durch die Transformationsmatrizen erzeuge, hat ja dann diesselben "Auswirkungen" bzw. "Eigenschaften" wie die Ausgangsmatrix A, richtig?

So diese vielen Fragen erstmal
das hilft mir dann erstmal sehr viel weiter

Vielen Dank für Eure Hilfe!!!

21.01.2010, 15:28

Reksilat

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RE: Diagonalisierbarkeit
Hi Physi,

Zu 1):
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der zugehörige Eigenvektor.
Wenn man zu dem Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline{v} \end{eqnarray*}$ den Vektor mit konjugiert komplexen Einträgen bezeichnet, und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ reellwertig ist, also $\begin{eqnarray*} \overline A=A \end{eqnarray*}$ , dann ist doch:
$\begin{eqnarray*} A\overline v=\overline A\overline v=\overline{Av}=\overline{\lambda v}=\overline \lambda\overline v \end{eqnarray*}$

Zu 2): Soweit richtig. Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch, dann sind die Eigenvektoren orthogonal zueinander. Erst wenn Du die Eigenvektoren noch normierst, bilden sie eine Orthonormalbasis und erst damit wird Deine Trafomatrix orthogonal.

Zu 3): Die Matrizen sind ähnlich. Alle unter Ähnlichkeitstransformation invarianten Eigenschaften wie Rang, Spur, Determinante, Eigenwerte, ... bleiben erhalten.

Gruß,
Reksilat.

21.01.2010, 15:38

Physinetz

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habe eine weitere Matrix die mit Schwierigkeiten bereitet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich zu den Eigenwerten 0,9 und 9 folgende Eigenvektoren gefunden:

Zu 0: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 9: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um meine Transformationsmatrix zu erhalten, schreibe ich nun die 3 Vektoren einfach als Spalten meiner Matrix:

$\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} B_{Diagonal}= T^{-1}*A*T \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Inverse von meiner Transformationsmatrix T berechne, mit A multipliziere und dann mit T , komme ich irgendwie nicht auf eine Diagonalmatrix,

a) Mache ich es vom Prinzip her richtig?Wo liegt der Fehler?

b) Die Reihenfolge der Eigenvektoren in meiner Matrix T ist egal, richtig?

c) Ist A symmetrisch, erhalte ich dann für T automatisch eine orthogonale Matrix, sodass die Inverse einfach die transponierte ist?

d) Angenommen ich habe 3 Einheitsvektoren raus (Diagonalisierbarkeit ist gegegben),die eine Basis bilden, wann nutze ich dann das Schmidtsche Verfahren um sie auf eine Orthonormalbasis zu bringen? Das dient ja nur dazu, dass man die Inverse leichter ausrechnen kann, oder hat das noch einen anderen Hintergrund?

Mit Hilfen für die 4 Fragen wäre mein Tag gerettet :-D

Vielen Dank und einen schönen Nachmittag

Hinweis: Hatte gerade meinen Beitrag geschrieben, während deiner reingekommen ist...

21.01.2010, 15:45

Reksilat

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Die EV sind korrekt. Reihenfolge der EV ist egal. Der Fehler liegt evtl. bei Deiner Inversen.

Zitat:

d) Angenommen ich habe 3 Einheitsvektoren raus (Diagonalisierbarkeit ist gegegben),die eine Basis bilden, wann nutze ich dann das Schmidtsche Verfahren um sie auf eine Orthonormalbasis zu bringen? Das dient ja nur dazu, dass man die Inverse leichter ausrechnen kann, oder hat das noch einen anderen Hintergrund?

Wo hast Du die Einheitsvektoren raus? verwirrt

Lies erst mal meinen obigen Beitrag Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

22.01.2010, 12:43

Physinetz

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1) Ok dann überprüfe ich das ganze nochmal Reksilat...

2) Also von deinem ersten Beitrag her schließe ich, dass ich bei einer symmetrischen Matrix A automatisch eine orthogonale Matrix T erhalte, wenn ich dort die Einheitsvektoren eintrage. Und damit ich ein ONS erhalte muss ich noch normieren, verstanden. Aber im Prinzip: Wann brauch man bei Diagonalisierbarkeit ein ONS ? Es reicht ja eine orthogonale Matrix, dann kann man leicht die Inverse angeben.

3) Wie geht man hier am besten vor:

Eigenräume:

$\begin{eqnarray*} V(1)=L(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(2)=L(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(3)=L(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Zu den Eigenwerten 1,2,3 gegeben. Nun soll eine 3x3 Matrix gefunden werden die diese Eigenräume besitzt und eben diese Eigenwerte...

Mein Ansatz:

Da die EIgenvektoren nur eine algebraische Vielfachkeit von 1 haben , kann ich von einer unbekannten Matrix A die Diagonalmatrix D aufstellen:
Die Transformationsmatrix T besteht einfach aus den Einheitsvektoren als Spalten:
T= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kann ich noch verwenden, dass bei einer Diagonalmatrix D dann die Eigenwerte die Diagonale bilden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0& 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich noch meine Inverse zu T ausrechnen...

Dann über den Ansatz: $\begin{eqnarray*} D=T^{-1} *A*T \end{eqnarray*}$ umstellen nach A, aber wie mache ich das? Da blicke ich nie, ob ich dann das T rechts oder links von D schreiben muss bzw. dass T^-1 , wohin das kommt...

Stimmts so weit? Und wie formt man um?

Vielen Dank für Eure Hilfe
Grüße Physi

22.01.2010, 12:57

Reksilat

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Zitat:

2) Also von deinem ersten Beitrag her schließe ich, dass ich bei einer symmetrischen Matrix A automatisch eine orthogonale Matrix T erhalte, wenn ich dort die Einheitsvektoren eintrage.

Bitte drücke Dich verständlich aus. Ich habe keine Ahnung wo und warum Du jetzt irgendwo Einheitsvektoren eintragen willst. verwirrt

Die Transformationsmatrix ist außerdem nicht automatisch orthogonal. Die Spalten würden zwar paarweise senkrecht aufeinander stehen, aber sie müssten noch normiert werden.

Zitat:

Aber im Prinzip: Wann brauch man bei Diagonalisierbarkeit ein ONS ? Es reicht ja eine orthogonale Matrix, dann kann man leicht die Inverse angeben.

Das ist letztlich das gleiche. Es gibt eine 1-zu-1-Beziehung zwischen orthogonalen Matrizen und Orthonormalbasen (ONB):
- Die Überführungsmatrix von einer ONB in eine andere ONB ist immer orthogonal
- Überführt man eine ONB mittels einer orthogonalen Matrix in eine andere Basis, so ist auch diese eine ONB
- Geht man von einer festen ONB (z.B. der Standardbasis) aus, dann kann man also jeder ONB eine orthogonale Matrix zuordnen und umgekehrt

Zitat:

Dann über den Ansatz: $\begin{eqnarray*} D=T^{-1} *A*T \end{eqnarray*}$ umstellen nach A, aber wie mache ich das? Da blicke ich nie, ob ich dann das T rechts oder links von D schreiben muss bzw. dass T^-1 , wohin das kommt...

Von links mit $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und von rechts mit $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren ergibt: $\begin{eqnarray*} TDT^{-1}=A \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

22.01.2010, 14:21

Physinetz

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Zitat:

2) Also von deinem ersten Beitrag her schließe ich, dass ich bei einer symmetrischen Matrix A automatisch eine orthogonale Matrix T erhalte, wenn ich dort die Einheitsvektoren eintrage.

Ich meinte natürlich die Eigenvektoren ^^ ich trottel...

ok soweit denke ich klar jetzt...vielleicht fällt mir zu obigem auch noch was ein ;-)

hier noch kurz:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich $\begin{eqnarray*} A^{100} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Ich dachte in eine Diagonalmatrix transformieren mit den Eigenwerten 0,9,9 dann als Diagonalelemente...aber das wären ja ziemlich hohe Werte die da rauskämen, wenn ich die Diagonalelemente hoch 100 nehme, dennoch richtig so?

22.01.2010, 14:28

Reksilat

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Hätte ich auch selbst drauf kommen können, dass Du die Eigenvektoren meinst Hammer

Ein bisschen verwirrend ist es schon: Die Spalten einer orthogonalen Matrix bilden eben nicht nur ein Ortogonalsystem, sondern sogar ein Orthonormalsystem. Da die Eigenvektoren, die Du berechnest, nicht unbedingt normiert sein müssen, ist die Trafomatrix also auch nicht per se orthogonal.

Zu $\begin{eqnarray*} A^{100} \end{eqnarray*}$ :
Ja, richtig so!

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