Tipp für Potenzreihenentwicklung

20.01.2010, 21:47

Vakuum

Tipp für Potenzreihenentwicklung

Hi!

Ich habe soll die komplexe Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z+1)(z+2)} \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe umwandeln.

Mit Wolfram Alpha bekomme ich zwar raus wie das Ergebniss ist, aber leider nicht wie man dahin kommt.

Eine Taylorreihenentwicklung kann ich mir nicht vorstellen da die Ableitung immer mehr Summanden bekommt.

Ein kleiner Hinweis wäre echt super!

Gruß

20.01.2010, 23:23

Leopold

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Partialbruchzerlegung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z+1)(z+2)} = \frac{1}{1-(-z)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \left(- \frac{z}{2} \right)} \end{eqnarray*}$

22.01.2010, 13:20

Vakuum

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hat vll noch jemand nen Tipp für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z+z^2} \end{eqnarray*}$ eine einfache Zerlegung ist hier ja nicht möglich...

22.01.2010, 16:13

Leopold

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Aber man könnte mit $\begin{eqnarray*} 1+z \end{eqnarray*}$ erweitern.

23.01.2010, 18:40

Vakuum

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ich SEHE es nicht... traurig

Was nun? wie komme ich da weiter? ich kann es einfach nicht auf eine geometrische Reihe o.ä. bringen!

23.01.2010, 20:37

system-agent

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Dann zeige doch mal was du bisher hast.

24.01.2010, 11:17

Leopold

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Zitat:

Original von Vakuum
ich SEHE es nicht... traurig

ähnliches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( z^2 \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} \end{eqnarray*}$

24.01.2010, 12:54

Vakuum

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Habs jetzt folgendermaßen gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2-z+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{z(z-1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{z+1}{z(z^2-1)+(z+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{z+1}{z^3+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{z}{z^3+1} + \frac{1}{z^3+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =z \frac{1}{1-(-z^3)} + \frac{1}{1-(-z^3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =z \sum{(-1)^n z^{3n}} + \sum{(-1)^n z^{3n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum{(-1)^n z^{3n}(z+1)} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es stimmt so...

jedenfalls vielen vielen Dank für eure Mühen!!! Freude

24.01.2010, 12:58

system-agent

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Ich sehe keinen Fehler, aber dann die Frage:
Ist das, was du als letztes stehen hast, wirklich eine Potenzreihe?

24.01.2010, 13:25

Vakuum

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zu 50%

... Mist!

edit: wobei z tritt nur in potenzen darin auf... aber was soll ich noch machen?

24.01.2010, 15:39

Vakuum

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AHHH $\begin{eqnarray*} \sum{(-1)^n z^{4n+1}} \end{eqnarray*}$ ??

24.01.2010, 20:19

Leopold

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Mein Gott!
So kurz vorm Ziel - und jetzt das!

Rechne noch einmal nach.

24.01.2010, 21:24

Vakuum

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bitte sags mir ich brauchs morgen!

24.01.2010, 21:34

Leopold

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Du wirst doch $\begin{eqnarray*} z^{3n} (z+1) \end{eqnarray*}$ fehlerfrei ausmultiplizieren können. Schließlich hast du hier schon kompliziertere Rechnungen korrekt durchgeführt. Und dann empfehle ich dir, einmal die ersten, sagen wir, acht Glieder der Potenzreihe vollständig hinzuschreiben, damit du ein "Gefühl" für die Sache bekommst.

24.01.2010, 21:38

Vakuum

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$\begin{eqnarray*} z^{3n+1}+z^{3n} \end{eqnarray*}$ dann kann ich zwei reihen machen, aber wie bekomme ich dann den konvergenzradius?

edit: summe der konvergenzradien = gesamt konvergenzradius? oder einfach der kleinste?

24.01.2010, 21:48

Leopold

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Das ist nur 1 Reihe. Warum schreibst du dir die Glieder nicht einfach einmal hin. Alles muß man selber machen:

$\begin{eqnarray*} 1 + z - z^3 - z^4 + z^6 + z^7 - z^9 - z^{10} ++-- \ldots \end{eqnarray*}$

Der größte Häufungspunkt des Betrags der Koeffizienten ist 1. Also ist auch der Konvergenzradius 1 (nimm zum Beispiel das Wurzelkriterium).

EDIT
falschen Rhythmus bei den Exponenten korrigiert

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