Stetigkeit

21.01.2010, 12:53

charlieharper

Stetigkeit

Ich soll für die Funktion:

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4+x^{2} } \end{eqnarray*}$

und b) $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} + 7x^{2}+1 \end{eqnarray*}$

mit der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Technik (Epsilon-Delta)
epsilon und delta an der Stelle x=1 bestimmen.

zu a) da ja für alle x $\begin{eqnarray*} | x-1 |< \delta \end{eqnarray*}$ gilt:

habe ich nun versucht epsilon zu bestimmen, ich bin nun soweit doch wie kann ich den zweiten Term abschätzen um eine Aussage zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} | (x-1)*\frac{(-x-1)}{5(4+x^{2}) } | \end{eqnarray*}$

zu b) ich kann den Term auseinanderziehen (Komposition):

$\begin{eqnarray*} f= x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g= 7x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | (x^3-1) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | 7(x+1)(x-1) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

doch wie mache ich da weiter??? Vielen Dank schonmal im Vorraus

21.01.2010, 13:07

lgrizu

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RE: Stetigkeit
zuerst einmal das kriterium: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 : | x-x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x)-f(x_0) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

nun ist $\begin{eqnarray*} | f(x)-f(x_0) | =| \frac{1}{4+x^2}-\frac{1}{4+x_0^2} | =| \frac{4+x_0^2}{(4+x^2)(4+x_0^2)}-\frac{4+x^2}{(4+x^2)(4+x_0^2)} |= | \frac{x_0^2-x^2}{(4+x^2)(4+x_0^2)} | \end{eqnarray*}$ .

und nun ist das ganze fast fertig, $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beliebig vorgeben und nen passendes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bestimmen.

21.01.2010, 13:56

charlieharper

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ja soweit is es mir schon klar. Das gleiche habe ich ja auch rausbekommen, habe halt nicht allgemein gerechnet sondern an der Stelle 1 sprich x0.
Wie mache ihc jetzt da weiter???

21.01.2010, 15:00

charlieharper

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ich will doch auf die Form $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{c} \end{eqnarray*}$ kommen, wobei delta ja $\begin{eqnarray*} | x-1| \end{eqnarray*}$ ist, also brauch ich das c, das eine Konstante werden soll. Aber wie komme ich nun darauf in den Beispielen????
vielen Dank schonmal...

21.01.2010, 16:18

lgrizu

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Zitat:

Original von charlieharper
wobei delta ja $\begin{eqnarray*} | x-1| \end{eqnarray*}$ ist,

soll da gleichheit herrschen?

ich mache mal da weiter, wo ich aufgehört haeb,wenn du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in der form $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{c} \end{eqnarray*}$ wählst, versuch es doch mal mit $\begin{eqnarray*} \epsilon=\delta \end{eqnarray*}$ .

also: $\begin{eqnarray*} | \frac{x_0^2-x^2}{(4+x^2)(4+x_0^2)} | = | \frac{(x_0-x)(x_0+x)}{16+4x_0+4x+x_0x} | \leq | x_0-x | = | x-x_0 | \end{eqnarray*}$

21.01.2010, 16:23

charlieharper

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Danke erstmal. Mir ist deine Zeile nicht ganz klar, warum darf ich das so abschätzen??? Der Schritt dann Epsilon = Delta ist mir logisch.

21.01.2010, 16:31

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} | \frac{(x_0-x)(x_0+x)}{16+4x_0+4x+x_0x} | = | (x_0-x) | | \frac{x_0+x}{16+4x_0+4x+x_0x} | \end{eqnarray*}$ und in dem bruch ist der nenner grösser als der zähler

21.01.2010, 20:01

charlieharper

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ja danke jetzt hab ichs verstanden.
und zur Aufgabe b): Kann ich die Terme auseinanderziehen und dann einzeln mit Epsilon-Delta-Kriterium untersuchen???

21.01.2010, 20:03

Rmn

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Wenn du die Verkettung der stetigen Funktionen schon gehabt hast, ja.

21.01.2010, 20:23

charlieharper

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ja die hatte ich bereits. Ich würde:

$\begin{eqnarray*} f= x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g= 7x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | (x^3-1) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | 7(x+1)(x-1) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

wenn ich die beiden Terme nach Epsilon abgeschätzt hab, muss ich wieder f+g rechnen um für die ganze Funktion ein Delta und Epsilon zu erhalten???

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