Sinus und Cosinus

21.01.2010, 15:11

Demon153

Sinus und Cosinus

Ich hab ne aufgabe bekommen, wo wir die additionstheoreme beweisen sollen, das is ja noch einfaches nachrechnen und war kein problem.
Im Anschluss der Aufgabe soll ich allerdings mithilfe dieser Additionstheoreme die Formel für $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$
und für kosinus auch herleiten.
Gut nun weiß ich ja das $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} \end{eqnarray*}$ , aber da das in der Aufgabenstellung nicht gegeben is, kann ich es nich verwenden.
Na gut über die Exponentialfunktion und die Additionstheoreme, wie mach ich das jetz am besten? Erstmal müsste ich doch aus $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ eine Summe machen, z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4}+\frac{x}{4} \end{eqnarray*}$ .
So kann ich das jetz ebenfalls so simpel ausrechnen? als ich es probiert habe, bin ich auf keine sinnvolle Lösung gekommen. Überhaupt kann ich mir nich vorstellen, wie ich mithilfe des Additionstheorems auf eine Wurzel kommen kann.
Kann mir jemand helfen?

21.01.2010, 15:29

Rmn

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RE: Sinus und Cosinus
Schreib sin(x/2) in exponentieler Form und quadriere es, schau, was du dann rausbekommst.

21.01.2010, 16:04

Mystic

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RE: Sinus und Cosinus
Was das Additionstheorem für den Cosinus betrifft, welches man hier braucht, kannst ja z.B. für die Funktion f(x) = cos(x+u) für festes u ein AWP aufstellen, wo genau f(x) Lösung ist, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} y''+y=0, \quad y(0)=\cos(u), \ y'(0)=-\sin(u) \end{eqnarray*}$

und dieses dann auf dem "Standardweg" nochmals lösen... Durch Gleichsetzung mit der schon bekannten Lösung kriegst dann die gewünschte Formel...

21.01.2010, 18:31

Demon153

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RE: Sinus und Cosinus
Cool danke erstmal, hat mir beides sehr geholfen!

21.01.2010, 18:57

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Zitat:

Original von Demon153
Gut nun weiß ich ja das $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} \end{eqnarray*}$ ,

Nicht für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - du solltest also auch noch über Gültigkeitsbereich dieser Identität nachdenken.

21.01.2010, 19:40

Demon153

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Da der cos(x) im Intervall [-1,1] definiert ist, gilt doch die Formel, weil die Wurzel aus einer positiven Zahl definiert ist. Allerdings gilt es dann dementsprechend nur für positive Ergebnisse des Sinus, wolltest du das damit sagen?

21.01.2010, 19:52

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Ja.

21.01.2010, 20:29

Demon153

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Reicht das, wenn ich das für den positiven Sinus gelten lasse, also $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{x}{2}) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich hab da noch ne andere Frage:
Hab eigentlich nur ne kurze Frage, und zwar, ob man diese Summe auch durch Induktion beweisen kann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \cos(k\phi) = \frac{\sin(\frac{n+1}{2}\phi)}{\sin(\frac{\phi}{2})}\cos(\frac{n}{2}\phi); n\in\mathbb N, \phi\in\mathbb R, \sin(\frac{\phi}{2})\neq0 \end{eqnarray*}$
Für den Induktionsanfang is klar cos0=1 für beide Seiten.
Für Induktionsschritt hab ich folgendes, komm aber nich weiter:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(\frac{n+1}{2}\phi)\cos(\frac{n}{2}\phi)+\sin(\frac{\phi}{2})\cos((n+1)\phi)}{\sin(\frac{\phi}{2})} \end{eqnarray*}$

Kann jemand aushelfen, oder mir nen andern Weg erklären?

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