Mittelwerte

14.10.2006, 13:34

Apokalypse

Mittelwerte

Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{a\cdot b}\leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ . Wie man darauf kommt ist mir kein Problem, aber es ist mir ein Rätsel, wofür man gleich drei verschiedene Mittelwerte braucht und es soll ja noch mehr Mittelwerte als die drei geben.
Kennt jemand Anwendungen für das harmonische und das geometrische Mittel?
LG Apokalypse verwirrt

14.10.2006, 13:37

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verallgemeinerungen solcher Mittel-Ungleichungen können dazu benutzt werden z.B. mittels Verschärfung andere Ungleichungen zu beweisen.

14.10.2006, 13:45

Apokalypse

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrPSI
Die Verallgemeinerungen solcher Mittel-Ungleichungen können dazu benutzt werden z.B. mittels Verschärfung andere Ungleichungen zu beweisen.

Der erste Teil deines Satzes leuchtet mr ein, aber der Teil mit der Verschärfung klingt mir ein bisschen nebulös. Bei mir hängt es momentan vor allem an dem Wort Verschärfung
MfG Apokalypse

14.10.2006, 13:48

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschärfung bedeutet im Großen und Ganzen folgendes:
Du hast eine Ungleichung $\begin{eqnarray*} A > C \end{eqnarray*}$ , die du beweisen willst. Dir ist die Tatsache $\begin{eqnarray*} A > B \end{eqnarray*}$ bekannt. Und nun "verschärfst" du die Aussage, indem du $\begin{eqnarray*} B > C \end{eqnarray*}$ zeigen willst. Wenn du das geschafft hast, dann ist auch $\begin{eqnarray*} A > C \end{eqnarray*}$ bewiesen.

Wenn ich Zeit finde, poste ich mal ein Beispiel, wo Verschärfung mittels der Mittel-Ungleichungen erfolgt. Aber jetzt muss ich weg...

14.10.2006, 19:03

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, hier nun ein kleines, aber ausführliches Beispiel:

Man beweise, dass für drei beliebig positive reelle Zahlen gilt:

$\begin{eqnarray*} x(x-\sqrt{yz}) + y(y-\sqrt{zx}) + z(z-\sqrt{xy}) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das entspricht der Aussage $\begin{eqnarray*} A \geq C \end{eqnarray*}$
Nun ist folgende Arithmetisch-Geometrische Mittel-Ungleichung bekannt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \end{eqnarray*}$

Somit ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y+z}{2} \geq \sqrt{yz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z+x}{2} \geq \sqrt{zx} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x(x-\sqrt{yz}) + y(y-\sqrt{zx}) + z(z-\sqrt{xy}) \geq x(x - \frac{y+z}{2}) + y(y - \frac{z+x}{2}) + z(z - \frac{x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

Das entspricht der Erkenntnis $\begin{eqnarray*} A \geq B \end{eqnarray*}$
Und mit dieser gerade eben aus der AM-GM-Ungleichung gewonnenen Ungleichung können wir nun verschärfen, also $\begin{eqnarray*} B \geq C \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x(x - \frac{y+z}{2}) + y(y - \frac{z+x}{2}) + z(z - \frac{x+y}{2}) \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{yx}{2} - \frac{zx}{2} + y^2 - \frac{yz}{2} - \frac{yx}{2} + z^2 - \frac{zx}{2} - \frac{yz}{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 - yx - zx - yz \geq 0 \ | \ \cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2yx - 2zx - 2yz \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2yx + y^2 + x^2 - 2zx + z^2 + y^2 - 2yz + z^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-y)^2 + (x - z)^2 + (y-z)^2 \geq 0 \quad \text{Q.e.d} \end{eqnarray*}$

Somit haben wir $\begin{eqnarray*} B \geq C \end{eqnarray*}$ bewiesen, und weil $\begin{eqnarray*} A \geq B \end{eqnarray*}$ gilt, muss auch $\begin{eqnarray*} A \geq C \end{eqnarray*}$ gelten.

P.S.: Übrigens meine ich zu glauben, dass ich ein weiteres Anwendungsgebiet kenne: die Statistik. Aber dazu sollen die Statistiker was sagen (Arthur & bil, wo seid ihr? Augenzwinkern

)

14.10.2006, 19:50

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrPSI
$\begin{eqnarray*} \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} x(x-\sqrt{yz}) + y(y-\sqrt{zx}) + z(z-\sqrt{xy}) \geq x(x - \frac{y+z}{2}) + y(y - \frac{z+x}{2}) + z(z - \frac{x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

Du machst da einen Fehler: Du zeigst nicht $\begin{eqnarray*} A\geq B \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} B\geq A \end{eqnarray*}$ , du schwächst die Gleichung also ab.

14.10.2006, 19:54

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2)
Wenn

$\begin{eqnarray*} A&:=&x(x-\sqrt{yz})+y(y-\sqrt{zx})+z(z-\sqrt{xy}) \\ \\ B&:=&x\left(x-\frac{y+z}{2}\right)+y\left(y-\frac{z+x}{2}\right)+z\left(z-\frac{x+y}{2}\right) \end{eqnarray*}$

ist, dann zeigt er $\begin{eqnarray*} A\geq B \end{eqnarray*}$ . Was ist daran auszusetzen?
Und welche Gleichung meinst du, soweit ich das sehe, haben wir hier nur Ungleichungen?

Gruß MSS

14.10.2006, 20:05

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, ich hab nicht auf die Minuszeichen geachtet und war von einer Addition ausgegangen.

14.10.2006, 20:11

Apokalypse

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis gefällt mir. MRPSI hat sicherlich viel Zeit investiert, um ihn hier ins Board zu stellen.Das Prinzip ist mir klar, aber ich habe noch ein paar Fragen:
Wie genau komm ich jetzt auf mein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ?
Der Rest des Beweises ist dann vermutlich kein Problem mehr für mich. verwirrt

14.10.2006, 20:27

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach AMGM gilt $\begin{eqnarray*} x-\sqrt{yz} \geq x-\frac{y+z}{2} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ kann man diese Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren usw.

EDIT: Oder zielt deine Frage darauf ab, wie man auf die Idee kommt, mal AMGM auszuprobieren? Intuition, Erfahrung, ...

14.10.2006, 20:32

Apokalypse

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich verstanden Tanzen

. Noch eine Frage: Kennt jemand ein gutes Buch, was diesen Stoff beinhaltet, denn ich finde das total spannend. Wink

14.10.2006, 20:34

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Problem Solving Strategies von Arthur Engel hat einige solcher Aufgaben mit Lösung.

14.10.2006, 20:44

Apokalypse

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibtes in diesem Buch auch noch Übungen zum selbermachen? Ich hab mir das jetzt mal angeschaut und es sieht mir so aus, als ob der Author zu jedem Satz einen Bweis hinknallt. Das zu wissen ist für mich ziemlich wichtig, denn der Preis ist ziemlich happig. smile

14.10.2006, 20:46

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es enthält unzählige Wettbewerbsaufgaben, die man selbst lösen kann (und es gibt Lösungen zum kontrollieren). Ich kann mich nicht erinnern, dass mein Exemplar damals so teuer war... Vielleicht hilft ja Ebay o.ä.

Neue Frage »

Antworten »

Mittelwerte

Verwandte Themen