Oberflächenintegral eines Kegels

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21.01.2010, 19:59	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegral eines Kegels Hallo, es wäre schön, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet: Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} z \\ y \\ z+1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch die Oberfläche des Kegels $\begin{eqnarray} K=((x,y,z)\|0\leq z\leq 2-\sqrt{x²+y²}) \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Gauss'schen Integralsatzes. Stimmt das Resultat mit der direkten Berechnung des Oberflächenintegrals $\begin{eqnarray} \int \int_B \! d \vec{S} \vec{A} \end{eqnarray}$ überein? Mein Ansatz: Der Integralsatz von Gauß lautet: $\begin{eqnarray} \int \int \int_B \! (div \vec{v})dV = \int \int_B \! d\vec{S}\vec{A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} div\vec{v}=2 \end{eqnarray}$ Der Kegel hat seine Spitze in $\begin{eqnarray} S=(0,0,2) \end{eqnarray}$ mit der z-Achse als Rotationsachse. $\begin{eqnarray} \int \int\int_B \! 2 \,dx dy dz \end{eqnarray}$ Nun versuche ich mich an Zylinderkoordinaten: $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^{2-r} \! 2 r\,dr d\phi dz \end{eqnarray*}$ Naja...und das ist grottenfalsch... Wie komme ich auf die richtigen Grenzen? Liebe Grüße, Helena
21.01.2010, 20:08	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Eigentlich brauchst du gar nicht integrieren, wenn du 2 rausziehst, ergibt dien Integral einfach das Volumen des Kegels
21.01.2010, 20:28	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Es hätte $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \int_0^h \int_0^{2-r} \! 2 r\,dr d\phi dz \end{eqnarray}$ lauten sollen, Mit der Höhe h als Grenze. Wir müssen den Integralsatz anwenden, um die Fläche zu berechnen, ist eine schriftlich abzugebende Aufgabe. Wie müsste ich denn richtig integrieren?
21.01.2010, 20:32	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels $\begin{eqnarray} \iiint \! (div \vec{v})dV = 2\iiint \! dV\ = 2V \end{eqnarray}$
21.01.2010, 21:25	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Geschickt gemacht. Die Rechnung zeigt, dass die Oberfläche eines Kegels gleich 2*das Volumen des Kegels ist? Wie lässt sich das mit Volumen=1/3pi r² h Fläche= pi r² + pi vereinbaren? (Sorry, die Vorschau funktioniert bei mir gerade nicht)
21.01.2010, 21:37	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Das ist nicht die Fläche, das ist der Fluß des Vektorfeldes A druch die Oberfläche, das ist was komplett anderes als Oberflächeninhalt. Du muss nun $\begin{eqnarray} \int \int_B \! d \vec{S} \vec{A} \end{eqnarray}$ ausrechnen und dann das Ergebnis mit 2V vergleichen.
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21.01.2010, 21:42	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Uh, ja, natürlich. Sorry, bin schon ganz duselig vom lernen. Ich stelle meine Ergebnisse dann morgen rein. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.
22.01.2010, 22:02	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Also, der erste Teil der Aufgabe ist dank dir jetzt klar, $\begin{eqnarray} 2V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r=h=2 \end{eqnarray}$ macht $\begin{eqnarray} 16/3 \pi \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} \int \int_B \! d \vec{S} \vec{A} \end{eqnarray}$ sind die "Zylinderkoordinaten" $\begin{eqnarray} \vec{r}=\begin{pmatrix} r sin \phi \\ r cos \phi \\ 2-r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist nur die Mantelfläche! Ich leite nach r und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ab und bastle mir daraus die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{e_1}=\begin{pmatrix} sin\phi \\ cos \phi \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e_2}=\begin{pmatrix} r cos \phi \\ -r sin \phi \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \vec{e_1} \times \vec{e_2} \| = r \sqrt2 \end{eqnarray}$ Ab da wirds merkwürdig, wegen der Wurzel: $\begin{eqnarray} \int_0^{2 \pi} \int_0^2 \! r \sqrt2 \, dr d \phi = 4 \sqrt2 \pi \end{eqnarray}$ Bei der Grundfläche kam $\begin{eqnarray} 2 \pi r \end{eqnarray}$ raus. Das ergibt zusammen addiert eindeutig nicht $\begin{eqnarray} 16/3 pi \end{eqnarray*}$
22.01.2010, 22:29	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Du brauchst $\begin{eqnarray} \vec {dS} \end{eqnarray}$ als Vektor und muss diesen dann skalar mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec A \end{eqnarray}$ multiplizieren und erst dann integrieren.
22.01.2010, 23:02	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Der Betrag aus dem Kreuzprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ stellt ja $\begin{eqnarray} d\vec{S} \end{eqnarray}$ dar. Dann ließe sich $\begin{eqnarray} d\vec{S} \end{eqnarray}$ noch als $\begin{eqnarray} \|dA/dt\| dt \end{eqnarray}$ darstellen, aber das wäre kein Vektor. Wie wäre denn die richtige Vorgehensweise?
22.01.2010, 23:34	Helena	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral eines Kegels Ich habs geschafft. Mantelfläche $\begin{eqnarray} 28/3 \pi \end{eqnarray}$ Grundfläche $\begin{eqnarray} -4 \pi \end{eqnarray}$ ergibt zusammen $\begin{eqnarray} 16/3 \pi \end{eqnarray}$ Vielen lieben Dank für deine Hilfe, Rmn
11.07.2010, 14:37	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie habe mir gerade die Vorgenhensweise angeschaut, aber ich verstehe nicht wie hier die Mantelfläche berechnet wurde. kann mir das jemand erklären?

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