Grenzwert bestimmen

21.01.2010, 21:25

gast10

Grenzwert bestimmen

Hallo,

ich muss einen Grenzwert bestimmen und komme nicht weiter. Habe es auch schon mit l'Hospital versucht, aber hilft auch nicht:

$\begin{eqnarray*} lim ((x²cos(1/x))/sin(x)) \end{eqnarray*}$ für x gegen 0

Wäre super, wenn jemand helfen könnte.

Lg

21.01.2010, 21:51

giles

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Betrachte den Betrag, benutze den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \underset{x\to0}{\lim} \frac{\sin (x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ und den Grenzwertsatz für Produkte von Folgen und schätze als letztes den Kosinus weg.

21.01.2010, 22:23

gast10

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das verstehe ich nicht ganz.Wie meinst Du das genau mit dem Betrag? Das der Grenzwert von sin(x)/x 1 ist weiß ich, aber ich weiß nicht wie ich dahin komme, das ich das anwenden kann. Ich komme nicht auf geeignete Umformungen. zB Sin und Cos als Summen darzustellen, bringt mich auch nicht weiter unglücklich

Hoffe auf Hilfe

21.01.2010, 22:41

giles

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Nach dem Grenzwertsätzen gilt $\begin{eqnarray*} \underset{x\to0}{\lim} \frac{\sin (x)}{x} = 1 = \underset{x\to0}{\lim} \frac{x}{\sin (x)} \end{eqnarray*}$
betrachte jetzt
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \underset{x\to0}{\lim} |\frac{x^2 \cos(\frac{1}{x})}{\sin (x)}|=\underset{x\to0}{\lim} |\frac{x}{\sin (x)}x\cos(\frac{1}{x})| \end{eqnarray*}$

22.01.2010, 13:15

gast10

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Welchen Sinn haben die Betragsstraße?
Warum ist der Grenzwert von x/sinx auch 1?
Wie kann ich cos abschätzen?
Wird das Ganze 0, weil x/sinx 1 wird und x 0 wird?

22.01.2010, 13:28

gast10

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hat sich erledigt ! Danke !

22.01.2010, 13:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast10
Welchen Sinn haben die Betragsstraße?

Damit man eben das schreiben kann:

Zitat:

Original von giles
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \underset{x\to0}{\lim} |\frac{x^2 \cos(\frac{1}{x})}{\sin (x)}|=\underset{x\to0}{\lim} |\frac{x}{\sin (x)}x\cos(\frac{1}{x})| \end{eqnarray*}$

Allerdings muß man noch den cos nach oben abschätzen.

Zitat:

Original von gast10
Warum ist der Grenzwert von x/sinx auch 1?

Wenn $\begin{eqnarray*} \underset{x\to0}{\lim} \frac{\sin (x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, was meinst du, wogegen dann der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin (x)}{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Zitat:

Original von gast10
Wie kann ich cos abschätzen?

Na nun überlege mal, in welchen Grenzen der cos läuft.

Zitat:

Original von gast10
Wird das Ganze 0, weil x/sinx 1 wird und x 0 wird?

Ja, aber wie schon gesagt muß noch der cos-Ausdruck versorgt werden.

Zitat:

Original von gast10
hat sich erledigt ! Danke !

Zu spät.

22.01.2010, 18:05

schorsch2010

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