[Artikel] Zinseszinsrechnung mit Entnahme

21.01.2010, 23:21	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Zinseszinsrechnung mit Entnahme Frage: Einem Kapital von 5000 Euro werden am Ende eines Jahres bei einem Zinssatz von 5% die Zinsen gutgeschrieben. Am Jahresende hebt der Eigner stets 200 Euro für den persönlichen Gebrauch ab. a) Bestimmen sie die Gleichung der Wachstumsfunktion. b) Nach welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?
21.01.2010, 23:24	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Artikel] Zinseszinsrechnung mit Entnahme Allgemeines zur Prozentrechnung Um bei einer einfachen Verzinsung die Zinsen zu berechnen, die nach einem Jahr Laufzeit fällig sind, ist es von Vorteil, den Zinssatz in den sogenannten Zinsfaktor umzurechnen. Beginnen wir beim einfachen Verfahren, das auch in den Unterstufen so gelehrt wird und rechnen wir mit den Angaben aus dem Beispiel. Die Entnahme lassen wir vorerst weg, ebenso alle Kontogebühren und Zinsertragssteuern. Ein Prozent einer Gesamtsumme bedeutet ein Hundertstel von diesem Ganzen, das wäre dann $\begin{eqnarray} \frac{5000}{100}=50 \end{eqnarray}$ Bei 5%iger Verzinsung wären also die Zinsen $\begin{eqnarray} \frac{5000}{100}\cdot 5=250 \end{eqnarray}$ Wenn der Kontoinhaber nichts anderes verfügt, werden nach einem Jahr die Zinsen zum Kapital geschlagen, und die Summe von Erstkapital und Zinsen ist nun das neue Kapital, das zum gleichen Zinssatz verzinst wird. Als Formel ausgedrückt: $\begin{eqnarray} 5000+\frac{5000}{100}\cdot 5=5250 \end{eqnarray}$ Wollten wir die Zinsen nach Ablauf des zweiten Jahres berechnen, müßten wir den Wert des Erstkapitals 5000 durch die erhaltenen 5250 in der Formel ersetzen. In dieser Weise müßten wir fortfahren, um für eine gegebene Anzahl von Jahren an Laufzeit die Zinseszinsen zu berechnen. Die Umständlichkeit dieser Methode liegt klar auf der Hand, denn man muss für jedes Jahr die Zinsen berechnen, um für das nächste das neue Kapital zu erhalten. Deshalb suchen wir uns ein anderes, einfacheres Berechnungsverfahren, das mit dem sogenannten Zinsfaktor funktioniert. Diesen können wir ganz einfach aus der vorigen Formel ableiten. Von jetzt an stehe $\begin{eqnarray} K_N \end{eqnarray}$ für das neue Kapital, das sich aus Erstkapital und Zinseszinsen zusammensetzt. $\begin{eqnarray} K_N =5000+\frac{5000}{100}\cdot 5=5000+5000 \cdot \frac{5}{100}=5000 \cdot\left(1 + \frac{5}{100}\right)=5000 \cdot 1.05 \end{eqnarray}$ Mit dieser Formel könnten wir Erstkapital + Zinsertrag nach drei Jahren Laufzeit ganz einfach so ausdrücken: $\begin{eqnarray} K_N=5000\cdot 1.05 \cdot 1.05 \cdot 1.05=5000\cdot 1.05^3 \end{eqnarray}$ Kehren wir zu unserem Beispiel zurück und berücksichtigen jetzt, dass am Jahresende 200 Euro entnommen werden. Für eine Laufzeit von vier Jahren bekämen wir diese Formel, die wir auch gleich umformen. $\begin{eqnarray} K_N=\left(\left(\left(5000\cdot 1.05 -200\right)\cdot 1.05 -200\right)\cdot 1.05 - 200\right)\cdot 1.05 - 200= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =((5000\cdot 1.05^2 -200\cdot 1.05) -200)\cdot 1.05 - 200)\cdot 1.05 - 200= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(5000\cdot 1.05^3 -200\cdot 1.05^2 -200\cdot 1.05 - 200)\cdot 1.05 - 200= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =5000\cdot 1.05^4 -200\cdot 1.05^3 -200\cdot 1.05^2 - 200\cdot 1.05 - 200= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =5000\cdot 1.05^4 -200\cdot\left(1.05^3 + 1.05^2 + 1.05 +1\right) \end{eqnarray}$ Für den Ausdruck in der Klammer kann man auch kürzer sagen: $\begin{eqnarray} 1.05^3 + 1.05^2 + 1.05 +1=\frac{1-1.05^4}{1-1.05} \end{eqnarray}$ Die Ableitung dieser Formel soll im Folgenden gezeigt werden: Drücken wir $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ als die Summe einer Folge von Potenzen aus, wobei die Exponenten ohne Lücke von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ reichen. $\begin{eqnarray} \quad S_n =1 + 1.05 + 1.05^2 + 1.05^3 + . . . + 1.05^n \quad \| \cdot 1.05 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \quad 1.05 \cdot S_n =1.05 + 1.05^2 + 1.05^3 + . . . + 1.05^n +1.05^{n+1} \end{eqnarray}$ Die Summe oder Differenz zweier Gleichungen ergibt wieder eine Gleichung; wir ziehen die untere von der oberen ab. Auf der rechten Seite heben sich alle Glieder von $\begin{eqnarray} 1.05 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 1.05^n \end{eqnarray}$ auf. $\begin{eqnarray} S_n-1.05 \cdot S_n=1-1.05^{n+1} \end{eqnarray}$ Ausklammern von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ; Umstellen. $\begin{eqnarray} (1-1.05) \cdot S_n=1-1.05^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_n=\frac{1-1.05^{n+1}}{1-1.05} \end{eqnarray}$ Wir stellen fest, dass der Exponent im Nenner um 1 größer ist als der größte Exponent $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ des Klammerausdrucks (der die Entnahme ausdrückt), und somit gleich der Laufzeit ist. Hier zur Verdeutlichung nochmal das Beispiel für eine vierjährige Veranlagung mit Entnahme: $\begin{eqnarray} K_N=5000\cdot 1.05^4 -200\cdot (1.05^3 + 1.05^2 + 1.05 +1)=5000\cdot 1.05^4 -200\cdot \frac{1-1.05^{3+1}}{1-1.05} \end{eqnarray}$ Da jetzt alles von der Variablen für die Laufzeit - nennen wir sie $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ - abhängt, können wir das Endkapital als Funktion $\begin{eqnarray} K_N(a) \end{eqnarray}$ so ausdrücken: $\begin{eqnarray} K_N(a)=5000\cdot 1.05^a -200\cdot \frac{1-1.05^a}{1-1.05} \end{eqnarray}$ Aufgabe a) wäre also gelöst. Der Vorteil der Formel zeigt sich sogleich, wenn wir Aufgabe b) lösen möchten. Da wir $\begin{eqnarray} K_N(a)=10000 \end{eqnarray}$ voraussetzen müssen, setzen wir in unsere Gleichung ein. $\begin{eqnarray} 10000=5000\cdot 1.05^a -200\cdot \frac{1-1.05^a}{1-1.05} \end{eqnarray}$ Division der Gleichung durch 200 und Ausmultiplizieren des Bruchs ergibt: $\begin{eqnarray} 50=25\cdot 1.05^a -(-20+20\cdot 1.05^a) \end{eqnarray}$ Wir vereinfachen und klammern aus: $\begin{eqnarray} 30=1.05^a \cdot (25-20) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6=1.05^a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=\frac{log\,6}{log\,1.05} \end{eqnarray}$ Bringt das Ergebnis (auf 15 Stellen gerundet; für Kontrollrechnungen empfiehlt es sich ohnehin, die Lösung im TR zwischenzuspeichern): $\begin{eqnarray} a=36.723784388301516 \end{eqnarray}$

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