Konvergenz von Reihen

22.01.2010, 00:38

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz von Reihen

Hallo ich bin gerade dabei mich etwas in die Analysis einzulernen und bin auf folgendes Problem gestossen wo mir anscheinend noch ein kleiner Anstoss fehlt. Ich hoffe ihr könnt mir vielleicht etwas weiterhelfen.

Es geht darum folgende Reihe auf Konvergenz zu untersuchen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\geq 1}^\infty \frac{3^{n^{2}}}{n^{n}} \end{eqnarray*}$

so ich hab mir gedacht ich mach es schön mit dem Quotientenkriterium. Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} +1 }{a_{n} } | \end{eqnarray*}$

dort eingesetzt hab ich.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{\frac{3^{(n+1)^{2} } }{(n+1)^{(n+1)}}}{\frac{3^{n^{2}} } {n^{n}}}| = \lim_{n \to \infty}|\frac{ 3^{(n+1)^{2}} n^{n} } { (n+1)^{(n+1)} 3^{n^{2}}}| = \lim_{n \to \infty}|\frac{ 3^{n^{2}} 3^{2n} 3^{1} n^{n} } { (n+1)^{(n+1)} 3^{n^{2}}}| = \lim_{n \to \infty}|\frac{ 3^{2n} 3^{1} n^{n} } { (n+1)^{n} (n+1)}| \end{eqnarray*}$

so und jetzt steh ich leider einfach an. ist es hier überhaupt zielführend das quotientenkriterium zu nehmen oder soll ich etwas anderes nehmen? bzw gibt es irgendwelche guten erfahrungswerte wann man am besten welche methode nimmt?

danke schonmal im vorraus für eure hilfe.

22.01.2010, 01:14

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich hab es jetzt mal mit dem wurzelkriterium probiert. so siehts schon um einiges besser aus. ich hoffe, dass ich zu später stunde nicht durch verzweiflung es mir schön gedreht habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

es gilt ja.
wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} \leq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die reihe

wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} \geq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert sie.

somit folgt aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^{n^{2}}}{n^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \frac{3^{n^{2}}}{n^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{3^{n^{2}}}}{\sqrt[n]{n^{n}}}= \frac{3^{n}}{n} \end{eqnarray*}$

und wenn ich mir jetzt den bruch ansehe kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} 3^{n} > n \end{eqnarray*}$ gilt. und wenn bei einem bruch der zähler grösser als der nenner ist, ist der wert grösser als 1.

somit wäre die reihe divergent.

darf ich das so machen?
danke schonma

22.01.2010, 07:36

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schorsch2010
es gilt ja.
wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} \leq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die reihe

wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} \geq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert sie.

Das ist leider grob falsch. Es muss jeweils strikt kleiner und größer 1 heißen, denn falls genau 1 herauskommt, erhält man keine Aussage. Die Reihe kann sowohl konvergent als auch divergent sein. Deine Schreibweise hier suggeriert irgendwie, dass beides zugleich der Fall sei.

22.01.2010, 08:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Und selbst das ist noch ungenau. Exakt muß es heißen:

Wenn es ein q gibt mit 0 <= q < 1 und ein n_0 mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \leq q \end{eqnarray*}$ für alle n > n_0, dann konvergiert die Reihe.

Wenn es ein q gibt mit q > 1 und ein n_0 mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \geq q \end{eqnarray*}$ für alle n > n_0, dann divergiert die Reihe.

22.01.2010, 08:42

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da fehlte wohl noch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ , danke für die Korrektur.

22.01.2010, 11:04

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} \leq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die reihe

wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} \geq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert sie.

tut mir leid, dass ist gestern durch übernachtung reingeschummelt worden. also dass es mit < geordnet wird ist mir klar gewesen.

also nochmal zusammengefasst. wenn man die limesform des wurzelkriteriums hernimmt dann

folgt aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{|a_{n} |} < 1 \end{eqnarray*}$ -> reihe ist absolut konvergent

und aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{|a_{n} |} > 1 \end{eqnarray*}$ -> reihe ist divergent.

dann sieht meine rechnung jetzt so aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{ \frac{3^{n^{2}}}{n^{n}}} = \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{3^{n^{2}}}}{\sqrt[n]{n^{n}}}= \lim_{n \to \infty }\frac{3^{n}}{n} \end{eqnarray*}$

das wäre ja dann
$\begin{eqnarray*} \frac{3^{\infty }}{\infty }= \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ was ja bekannter massen undefiniert ist.

gilt es dann wenn ich jetzt vorher diese überlegung anstelle:
$\begin{eqnarray*} 3^{n} > n \end{eqnarray*}$ und somit der zähler immer stärker wächst als der nenner und somit immer eine zahl >1 rauskommen muss und die reihe dadurch divergent ist?

Anzeige

22.01.2010, 11:14

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus x_n > y_n für alle n folgt nicht, dass x > y gilt, wenn x_n -> x und y_n -> y.

air

22.01.2010, 12:34

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

ok so hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ was undefiniert bedeutet.
verwirrt

verwirrt

tja ich glaub jetzt dreh ich mich ein bisschen im kreis. kann ich den limes vorher noch irgendwie umformen? ja - nein- vielleicht?

22.01.2010, 13:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schorsch2010
ok so hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$

Solch ein Ausdruck ist im Grunde Unfug, da es dafür überhaupt keine mathematische Definition gibt. Natürlich kann man etwas über das Grenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \frac{3^n}{n} \end{eqnarray*}$ sagen.

22.01.2010, 13:52

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest dir dafür schnell überlegen, ob/wann $\begin{eqnarray*} 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ gilt und das dann darüber abschätzen.

22.01.2010, 14:36

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das stimmt immer.
für
0 1>=0
1 3>=1
2 9>=8
3 27>=27
4 81>=64

nur eine frage tut sich mir dabei noch auf. warum sollte ich es mir überhaupt überlegen? geschockt

geschockt

vor allem warum $\begin{eqnarray*} 3^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 3^{n} \geq n \end{eqnarray*}$ ??

22.01.2010, 14:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Probier's doch einfach mal aus und schätze 3^n nach unten einmal durch n und einmal durch n³ ab. Merkst du was?

Im übrigen hast du für 3^n >= n³ ein paar Beispiele gerechnet. Ein Beweis ist das natürlich nicht.

22.01.2010, 15:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum $\begin{eqnarray*} 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ ...weil es funktioniert?

Du suchst nach irgendwas um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{3^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ zu berechnen und kommst nicht weiter. Wenn du aber weißt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}n^2=\lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n}=\infty \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ , dann kannst du auch was über den Grenzwert deines Problems sagen.

22.01.2010, 17:57

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Warum $\begin{eqnarray*} 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ ...weil es funktioniert?

Du suchst nach irgendwas um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{3^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ zu berechnen und kommst nicht weiter. Wenn du aber weißt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}n^2=\lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n}=\infty \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ , dann kannst du auch was über den Grenzwert deines Problems sagen.

Ok jetzt versteh ich nur mehr Bahnhof Hammer

Hammer

Eigentlich sagt es mir ja, dass wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}n^2=\lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n}=\infty \wedge 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{3^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ auch gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen muss?

Aber gibt es einen bestimmten Grund warum ich $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ vergleiche? Würde nicht $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ reichen um den Nenner verschwinden zu lassen? Oder ist es üblich dass man die Hochzahl mit der Basis vertauscht?

Bzw wie kann man schön beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 3^n \geq n^3 \end{eqnarray*}$ stimmt?

Ich danke euch schonmal sehr für eure Hilfe.

22.01.2010, 19:29

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich würde es auch ausreichen das ganze für n² abzuschätzen, aber für n³ ist das ganze ein kleiner Induktionsbeweis vom Umfang einer halben Seite.

22.01.2010, 19:31

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Natürlich würde es auch ausreichen das ganze für n² abzuschätzen, aber für n³ ist das ganze ein kleiner Induktionsbeweis vom Umfang einer halben Seite.

Ok danke. Induktion war jetzt das Stichwort. Ich werds mal so probieren.

22.01.2010, 21:18

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu welchem Ergebnis bist du denn mittlerweile gekommen?

22.01.2010, 21:36

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal zwischendurch weg müssen und jetzt bastel ich grad mit der Induktion etwas rum für den Beweis.

so ich nimm an $\begin{eqnarray*} 3^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung ist $\begin{eqnarray*} 3^{(n+1)} \geq (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} 3^{(n+1)} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 * 3^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 * 3^{n} \geq 3 * n^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{3} + n^{3} + n^{3} \geq n^{3} + 3*n^{2} + 3*n+1 = (n+1) ^{3} \end{eqnarray*}$

somit wäre es bewiesen oder?

passt es jetzt dann?

22.01.2010, 22:18

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Also für die Form würde man uns einen Punkt abziehen, auch wenn das hier "nur" ein Forum ist sollte gerade diese gewahrt werden da sie das Lesen einfacher macht.

Wenn man dir diese Abschätzung direkt abnimmt ja: $\begin{eqnarray*} n^{3} + n^{3} + n^{3} \geq n^{3} + 3*n^{2} + 3*n+1 = (n+1) ^{3} \end{eqnarray*}$

Ich würde vllt. noch 1 oder 2 kleine Zwischenschritte einschieben (wobei die bei uns auch schon fast zu pingelig sind).

Ansonsten wäre damit halt bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} 3^n\geq n^3 \end{eqnarray*}$ und somit hast du jetzt etwas nach unten zum Abschätzen gefunden.

22.01.2010, 22:45

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. Reicht es wenn ich es nach unten abschätzen kann? Eigentlich schon, weil wenn das schon gegen unendlich geht, kann die Reihe selbst auch nur nach unendlich gehen?

Hmm ich werd jetzt für heute mal weg sein. Danke schonmal. Ist das Beispiel jetzt eigentlich fertig oder muss ich nochwas machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

?

Wenn ja dann werd ich mir das morgen mal anschaun.

Auf jedenfall vielen Dank an dich für deine Hilfe. Hat mir viel geholfen.

22.01.2010, 22:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das weitere sollte so stimmen, aber da kann morgen bei weiteren Fragen auch gern wer anders übernehmen, ich bekomm morgen Besuch aus Australien und werde wahrscheinlich eher selten in den nächsten Tagen hier sein.

23.01.2010, 14:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schorsch2010
Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} 3^{(n+1)} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 * 3^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 * 3^{n} \geq 3 * n^{3} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

23.01.2010, 14:33

schorsch2010

Auf diesen Beitrag antworten »

ok und könntest du mir sagen warum?

weil für mich siehts ziemlich gut aus wenn ich sage
$\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 * a \geq 3 * b \end{eqnarray*}$

danke schonma.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »