Gruppe mit 6 Elementen |
| 14.10.2006, 17:37 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppe mit 6 Elementen Ich habe hier eine meiner Meinung nach sehr seltsam formulierte Aufgabenstellung, bei der ich ein wenig Hilfe brauchen würde. Sei D:= \{0,1}. Die Abbildungen g: D->D, g(x)=1-x und h: D->D, h(x)=1/x erzeugen bei Zusammensetzung eine Gruppe mit 6 Elementen. Wie soll Zusammensetzung zu verstehen sein? g(f(x)) bzw f(g(x)) wohl kaum. wenn ich f(x) und g(x) gleichsetze erhalte ich zwar 6 Elemente als Lösung, diese sind aber nicht alle aus . |
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| 14.10.2006, 17:45 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
doch, hier ist wohl Verkettung gemeint betrachte ALLE Abbildungen von D nach D, diese bilden eine Gruppe (mit der Komposition als Verknüpfung); du betrachtest nun die Untergruppe, die von f und g erzeugt wird EDIT: hier hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen, die Menge aller Abbildungen von D nach D bilden mit ° natürlich nur ein Monoid Danke an Theirsen. 
f und g sind invertierbar, darum kann der Rest genauso gemacht werden wie vorgeschlagen. |
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| 14.10.2006, 17:48 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja aber das werden doch wohl sehr viel mehr als 6 elemente, wenn ich ganz R ohne 0,1 einsetzen kann... |
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| 14.10.2006, 17:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du betrachtest eine Gruppe von Abbildungen, die Elemente dieser Gruppe sind also die Funktionen selber, dabei spielt der Definitionsbereich der Gruppe keine (oder nur eine Untergeordnete) Rolle. Betrachte mal: g(g(x)) h(h(x)) g(h(x)) h(g(x)) und überlege dir welche Eigenschaften der Gruppe sie wiederspiegeln. |
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| 14.10.2006, 17:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
was du einsetzen kannst, ist doch egal Es sind zwei Abbildungen h und k gleich, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich (dieser ist hier R\{0,1}) h(x)=k(x) gilt. Eine Abbildung, die in jeder Untergruppe dabei ist, ist natürlich die Identität: Damit sind schon mal {id,f,g,....?} in deiner Gruppe. Dann müssen aber auch noch die Inversen und die Verknüpfungen etc. da rein, aber da gibts gar nicht soooo viele. z.B. ist f°f schon wieder die Identität, also mit f auch gleich das Inverse drin. usf. EDIT: jetzt nach Mazzes Beitrag sehe ich es auch; ersetze die Funktionsnamen, dachte, die hießen bei dir f und g statt g und h 
sry |
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| 15.10.2006, 14:51 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke schon mal für die antworten, sry, dass ich erst so spät antworte, also ich hab jetzt 5 elemente gefunden: {id,g(x),h(x),g(h(x)),h(g(x))} g^-1 und h^-1 sind wieder g und h g(g(x)) und h(h(x)) sind beides id nun fehlt mir noch ein 6tes element 
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| 15.10.2006, 15:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
schon mal g°h°g oder h°g°h getestet? 
Du kannst ja noch weiter verknüpfen |
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| 15.10.2006, 15:34 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, aber das würde meiner meinung nach kein ende geben |
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| 15.10.2006, 15:51 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
scheinbar doch, die können ja schon bekannte Abbildungen ergeben....... versuchs halt mal.... |
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| 15.10.2006, 16:05 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aha, hab zu wenig vereinfacht, nun hab ich 6 elemente in meiner Gruppe G={} also müsste ich jetzt zeigen, dass gilt: -"Ring" also die Verkettung von Funktionen ist eine innere Verknüpfung auf G, also für alle a,b aus G gilt a "Ring" b aus G -Es gilt das Assoziativgesetz a Ring (b Ring c)=(a Ring b) Ring c für alle a,b,c aus G -Es existiert ein neutrales Element (vermutlich die identität
)-Zu jedem a aus G existiert ein a^-1 aus G Stimmt das so weit? |
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| 15.10.2006, 19:19 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine Elemente sind alle richtig. Jetzt fang doch mal an, die Gruppenaxiome nachzuweisen. Gruß, therisen |
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| 15.10.2006, 19:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denke (und nachdem ich deine Schreibweise interpretiert habe
), deine Elemente werden stimmen.Die Abgeschlossenheit hast du vermutlich schon gezeigt, während du diese Elemente bestimmt hast (du hast doch hoffentlich schon gezeigt, dass es da keine mehr geben kann
).Neutrales Element "f(x)=x" bzw. bei dir kurz "x" geschrieben ist natrlich klar (identische Abbildung). Die Inversen zuzuordnen sollte dann auch recht schnell gehen. Zu guter letzt kannst du dann auch noch schnell rausfinden, ob hier eine Gruppe vorliegt, die isomorph zur S3 ist oder zyklisch..... edit: Michi, übernimmst du? 
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