Gauß'sches Verfahren Aufgabe

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Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß'sches Verfahren Aufgabe
Hallo,

unser Mathebuch beinhaltet folgende Frage, die mir unklar ist. a ist ja einfach, bei b soll jedoch ein LGS aufgestellt werden. Ein LGS kenne ich nur mit Sachen wie 2x+6y=5 oder so, als Beispiel. Davon 2 Gleichungen, eine Variable eliminiert und gut ist. Aber ich weiß nicht wie man das im Praxisbezug wie diesem aufstellt, also die Gleichungen. Ich weiß nicht was das Ergebnis der Gleichungen sein soll. Die Fläche des Dreiecks oder wie? Wäre über nen Tipp dankbar.
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RE: Gauß'sches Verfahren Aufgabe
Für jede Aufgabe mußt du einen Ansatz für eine ganzrationale Funktion machen. Für die Koeffizienten erhältst du ein LGS, also auch für die Aufgabe a.
 
 
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich verstehe das nicht wirklich. Auch bei a habe ich einen anderen Ansatz gewählt. Ich habe ein Steigungsdreieck und damit die Straße glatt ist, habe ich natürlich einfach die Schräge gezeichnet. Dann ist f(x)=1/4x, ohne großes Gleichungssystem. Und in Aufgabe b muss man doch einfach nur einen Strick von a nach B ziehen, oder? Dann kann man mit dem Auto da gerade drüber fahren. Dann wäre f(x)=50. Damit wäre das für mich schon gelöst. Ich verstehe nicht wie ich da ein LGS draus formen soll. Ich habe ja auch keine richtigen Gleichungen. Nur f(50)=50, f(150)=50. Ich verstehe einfach nicht wie ich da ein LGS draus schaffen soll.
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Zitat:
Original von Gast333333333
Ich habe ein Steigungsdreieck und damit die Straße glatt ist, habe ich natürlich einfach die Schräge gezeichnet. Dann ist f(x)=1/4x, ohne großes Gleichungssystem.

Da hast du aber eine wichtige Bedingung unterschlagen, nämlich daß die Straßenteile tangential (also knickfrei) ineinander übergehen. Das gleiche gilt natürlich auch für die zweite Aufgabe.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah. Ok, jetzt weiß ich auch was mit tangential gemeint ist. Dachte das dient zum verwirren.

Für 1 kann man dann aufstellen, f(x)=ax²+bx+c. Jetzt weiß ich aber nicht was ich einsetzen soll. Setze ich den Punkt a ein, erhalte ich 0=0a²+0b+0, also null. Damit kann ich schonmal kein LGS aufstellen. Punkt B wäre dann die Gleichung 10=40a²+40b+c. Da kann ich kein LGS draus machen. Wenn ich Null mit irgendwas malnehme, kommt stets null raus, ich habe stets also nur eine Gleichung mit 3 unbekannten. So komme ich nicht weiter. Ich weiß auch nicht ob das richtig ist dass ich für ax²+bx+c die x-werde von einem Punkt einsetze und für y die Werte des Punktes an der Stelle y. Da habe ich geraten.
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Zitat:
Original von Gast333333333
Setze ich den Punkt a ein, erhalte ich 0=0a²+0b+0, also null.

Nein, das stimmt nicht.

Zitat:
Original von Gast333333333
Punkt B wäre dann die Gleichung 10=40a²+40b+c.

Das stimmt ebenfalls nicht.

Im übrigen mußt du einen Ansatz mit einem Polynom 3. Grades machen, denn du hast 4 Bedingungen: 2 mal muß der Punkt stimmen und 2 mal muß die Steigung stimmen.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nein, das stimmt nicht.


Aber wenn ich das Koordinatensystem so lege, dass A am Ursprung ist, ist doch x=0 und y auch. Verschieben kann ich es nur auf Punkt B, aber dann liegt alles von A im negativen Bereich. Geht natürlich, aber ist bestimmt umständlich. Das sieht schon komisch aus, finde ich. Falsch einfach. Big Laugh
Habe ich das Koordinatensystem falsch angelegt? Kann man es falsch anlegen überhaupt? Punkt ist doch Punkt. Wie lege ich es sinnvoll an?

Der Ansatz ist f(x)=ax³+bx²+cx+d. Aber wie oben, ich würde, da A(0/0) hat, wieder nur d rausbekommen. Und d wäre null. Ich weiß nicht weiter. Ich krieg es einfach nicht hin.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht huddeln. Du bekommst f(0) = d = 0 raus. So ist es richtig.
Aber nicht: f(0)=0=0a²+0b+0 oder ähnliches.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Bei der ersten Grafik habe ich dann für B die Funktionsgleichung 40a³+40b²+40c+d, wenn ich x einsetze. Aber da sind a) Potenzen drinnen und b) kann ich nix eliminieren, da in der vorherigen alles mit nullen ist, also jedes x. Ich komme da immer noch nicht weiter.

PS: was ist huddeln?
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Zitat:
Original von Gast333333333
Bei der ersten Grafik habe ich dann für B die Funktionsgleichung 40a³+40b²+40c+d, wenn ich x einsetze.

unglücklich In was bzw. für was hast du denn die 40 eingesetzt? Vergleiche das mal mit:
Zitat:
Original von Gast333333333
Der Ansatz ist f(x)=ax³+bx²+cx+d.

Jetzt schreibe mal hin, welche Koordinaten deine Punkte haben und setze das mal ordentlich ein.

Zitat:
Original von Gast333333333
PS: was ist huddeln?

Etwas sehr hastig und dadurch falsch machen.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe für die erste Grafik folgendes heraus, das Koordinatensystem habe ich in die Mitte gelegt. Meine Punkte sind A(-20/0); B(20/10):
f(-20)=a*(-20)³+b*(-20)²+c(-20)+d
(d vermute ich ist 5, aber bin nicht ganz sicher...)

f(20)a*20³+b*20²+c*20+d

Bei Grafik 2 habe ich eine Parabel, umgedreht, daraus der Ansatz f(x)=ax²+bx+c. Das Koordinatensystem habe ich ebenfalls "unten" angelegt, sodass ich folgende Punkte habe: A(-50/50) B(50/50), daraus ergeben sich 2 Gleichungen:
f(-50)=a*(-50)²+b*(-50)+c
f(50)=a*50²+b*50+c

Ist das so korrekt? Allerdings habe ich ja oben nur 2 Gleichungen, müssen das nicht 4 sein? Ist die Grafik Nr. 2 korrekt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bleiben wir erstmal bei der ersten Graphik (<-- schreibt man so auch nach der neuen Rechtschreibung). Du mußt noch einbauen, daß in den Punkten A und B die Steigung Null ist.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das macht Sinn.

f'(-20)=-8000a+400b-20
f''(20)=8000a+400b+20

Ist das korrekt? Denn ich bin nicht sicher ob ich das c im dritten Teil weglassen darf oder nicht.

@Grafik: War mir zuerst auch unischer, Grafik ist jedoch nicht verkehrt, steht zumindest auch auf Wikipedia. Vermutlich geht beides laut neuer Rechtschreibung. Bei uns im Norden ist "Grafik" gebräuchlich. Graphik habe ich noch nie gesehen, auch auf Plakaten nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast333333333
f'(-20)=-8000a+400b-20
f''(20)=8000a+400b+20

Das ist falsch. Wieder mal gehuddelt.

Zitat:
Original von Gast333333333
@Grafik: War mir zuerst auch unischer, Grafik ist jedoch nicht verkehrt, steht zumindest auch auf Wikipedia. Vermutlich geht beides laut neuer Rechtschreibung.

Entschuldigung. Es geht tatsächlich beides. smile
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, wie komme ich denn auf f''? Natürlich f'.

f'(-20)=-8000a+400b-20
f'(20)=8000a+400b+20

Ansonsten müsste das doch stimmen, oder? Nur bei dem c bin ich mir nicht sicher... eigentlich fällt es ja weg beim Ableiten. Da ich x eingesetzt habe, kommen ja die Werte wie 8000 etc. zustande. Da bleibt ja nur noch lediglich a, b und c übrig. Nur bei c bin ich nicht sicher, ob es dann heißt +c, da nur das x wegfällt, aber eigentlich fällt ja beim Ableiten die Variable weg, also habe ich dort -20 bzw. +20...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast333333333
Da ich x eingesetzt habe, kommen ja die Werte wie 8000 etc. zustande.

Da möchte ich mal sehen wie. Was ist denn f'(x) ?
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie dämlich, stimmt. Ich habe lediglich aufgelöst (-20³ zB) und gar nicht zu Ende abgeleitet! Ah! Das ist also huddeln! Big Laugh Wenn ich also richtig ableite, nachdem ich x eingesetzt habe, fallen ja eigentlich die Variablen a, b und die Werte am Ende weg. Kann das sein? Also

f'(-20)=-8000+400=-7600 und f'(20)=8000+400=8400

Aber da sind dann die Variablen verschwunden. Kann das dann richtig sein? Die brauche ich doch für das LGS?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also huddel mal nicht weiter, sondern schreibe mal hin, was f'(x) ist.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich sollte vllt erstmal den Ansatz hinschreiben.

f'(x)=3ax²+2bx+c

f'(-20)=3a*400+2b*(-20)+c=1200a-40b+c

f'(20)=1200a+40b+c

Besser?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. So langsam wird's. Augenzwinkern
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Wenigstens etwas.

Wenn ich nun ein LGS aufstelle - was kommt denn dann auf die rechte Seite, wo bei Gleichungen das Ergebnis steht? f(20) kann ich da ja so nicht stehen lassen. 20 ist ja aber auch falsch, oder? Wobei - bei 20 wäre der y-Wert ja 10, also
1200a+40b+c=10 und 1200a-40b+c=0 sowie a*20³+b*20²+c*20+d=10 ... ? Das müsste doch der Funktionswert (y-Wert) an der Stelle f(x) sein, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast333333333
1200a+40b+c=10

Diese Gleichung ist falsch, die anderen beiden stimmen. Jetzt fehlt noch die 4. Gleichung.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

8000a+400b+20c+d=10
-8000a+400b-20c+d =0


1200a-40b+c=0
1200a+40b+c=10

Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast333333333
1200a+40b+c=10

Diese hatte ich schon bemängelt. Es geht um die rechte Seite. Denk nochmal drüber nach.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, geraten würde ich sagen 0 (bei beiden Ableitungen), da die Steigung null sein muss. Aber wo ist denn dann eingebaut, dass die Ableitung an der Stelle y=10 null ist? Muss man das nicht irgendwo einbringen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, aufwachen! Wink Es geht nicht um die Stelle y=10, sondern um die Stelle x=10. Und ja, da muß die Steigung Null sein.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gebe ich auf. Bei x=10 ist ja nichts interessantes, mein Koordinatenkreuz läuft direkt durch die Mitte, bei x=10 kann man keine Aussagen treffen. Ich komme so nicht weiter und ich weiß nicht was gemeint ist.
Gast333333333 Auf diesen Beitrag antworten »

Verdammt, das wurmt mich jetzt! Big Laugh

Wieso ist es denn nicht richtig, das
Zitat:
Hm, geraten würde ich sagen 0 (bei beiden Ableitungen), da die Steigung null sein muss.

?

Ich habe halt einfach
8000a+400b+20c+d=10
-8000a+400b-20c+d=0 raus und

1200a-40b+c=0
1200a+40b+c=0

Wenn ich ein LGS aufstelle, habe ich d=5 heraus (als ersten Schritt). Ist auch keine Kommazahl, daher habe ich Hoffnung dass ich vllt doch Recht hatte und das falsch verstanden habe (dass das da oben völliger Firlefanz ist)...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast333333333
Wieso ist es denn nicht richtig, das
Zitat:
Hm, geraten würde ich sagen 0 (bei beiden Ableitungen), da die Steigung null sein muss.

?

Dagegen hatte ich auch nichts einzuwenden.

d=5 ist ok. Jetzt noch die anderen 3 und du hast es geschafft. smile
loc Auf diesen Beitrag antworten »

Hurra!! (mich mal angemeldet habe)! Dann habe ich es falsch verstanden, mit den y=10. Ich dachte das mit =0 wäre falsch. Vielen Dank! Big Laugh

Bei der zweiten Grafik habe ich folgendes heraus, als Gleichungen:

f(-25)=625a-25b+c => 625a-25b+c=50
f(25)=625a+25b+c => 625a+25b+c=50

(bei A(-25/50) und B(25/50) )

f'(-25)= -50a+b => -50a+b=0
f'(25)= 50a + b => 50a + b = 0

klarsoweit? Big Laugh

EDIT
====
Leider habe ich beim LGS kein schönes Dreieck unten raus, sodass ich zwar d(5) kenne, und b( ), jedoch habe ich in allen Gleichungen, wenn ich d und b einsetzen will, noch a und c als Unbekannte... ärgerlich. Wie löst man das denn? Oder das ganze LGS noch einmal machen? Da sich nur so viel gleich am Anfang rauskürzen lässt mit *(-1), neigt man dazu den gleichen Fehler nochmal zu machen....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loc
(bei A(-25/50) und B(25/50) )

Die Koordinaten der Punkte solltest du dir nochmal anschauen.
loc Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, die 50 haben mich irritiert. A(-50/50) und B(50/50). So richtig?

Blöd nur, dass die Gleichungen falsch sind. Denn ich weiß ja nicht, wieviel die Steigung in den Punkten beträgt. Blöd.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich weißt du was über die Steigung, wenn du dir Skizze mal genau anschaust.
loc Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe 2 Geraden, und die Steigung muss 1 nzw. -1 sein, da es 50 nach oben und 50 nach rechts geht. Also hätte ich g(x)=x+b. Mit einer Punktprobe würde ich dann einen Punkt (A oder B) einsetzen und somit b errechnen, ist das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du brauchst nur die Steigungen. Das weitere ist dann wie bei der ersten Aufgabe.
loc Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich ja. Ich habe 3 Funktionen,




Bei den letzten beiden habe ich nur die Steigung drinnen.

Jetzt würde ich die Punkte einsetzen, damit ich ja auch Zahlen bekomme. Also für x zB die 50 und als Ergebnis der Gleichung auf 50. Für Punkt B. Das habe ich ja bei der ersten Aufgabe auch gemacht. Für c kann ich natürlich nichts einsetzen.

Ist es eigentlich egal, ob ich Punkt A zB in beide letzten Gleichungen einsetze, oder sollte ich i.d. ersten den Punkt A nehmen und in der zweiten den Punkt B? Eigentlich müsste es doch egal sein, oder? C dürfte ja keinen anderen Zahlenwert bekommen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loc
Das meinte ich ja. Ich habe 3 Funktionen,

Ja, aber die Funktionsgleichungen für die Geraden interessieren nicht (lassen sich aber bei Bedarf leicht aufstellen, wenn man das unbedingt will). Es geht einzig und allein um f(x). Diese Funktion soll das Zwischenstück darstellen und wie vorher auch knickfrei an die Geraden anschließen. Dadurch hast du wiederum 4 Bedingungen. Einen durchschlagenen Erfolg wirst du haben, wenn du diese 4 Bedingungen mal komplett hinschreinbst.
loc Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fallen lediglich, wenn die Geradengleichungen egal sind, 2 Bedingungen ein - die Parabel muss durch die Punkte A und B gehen.




Wenn ich mir das ganze als Grafik vorstelle, würde ich ich sagen dass der y-Wert des Scheitelpunkts noch wichtig ist, denn wenn man die Parabel nach oben oder unten zieht, passt sie ja irgendwann zur Geraden. Aber ohne die Geradengleichungen zu beachten, fällt mir gerade nichts ein. Denn auch den Scheitelpunkt errechne ich doch mit den Graden, das wäre ja dann das c, oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist mit den Steigungen in den Anschlußpunkten A und B?
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