Wärmeleitungsgleichung , Martingal

22.01.2010, 15:11	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitungsgleichung , Martingal Huhu ich bin mal wieder bei der Stochastik gelandet. Sei $\begin{eqnarray} B_t \end{eqnarray}$ eine d-dimensionale Brownschen Bewegung, die in 0 startet mit $\begin{eqnarray} f \in C^{1,2} (\mathbb R x \mathbb R^d ; \mathbb R) \end{eqnarray}$ eine Funktion die der PDE genügt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d} \frac{\partial f(t,x)}{\partial x^2}=0 \end{eqnarray}$ Berechne das Differential von $\begin{eqnarray} X_t:=f(t,B_t) \end{eqnarray}$ und zeige $\begin{eqnarray} X_t \end{eqnarray}$ ist ein lokales Martingal. Hinweis: wenn $\begin{eqnarray} P ( \int_0^t \| g(t,B_t)\|^2 < \infty ) = 1 \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} Y_t =\int_0^t g(t,B_t ) dB_t \end{eqnarray}$ ist ein lokales Martingal. Die Partielle Dgl ist ja die Wärmeleitungsgleichung. Muss ich nun eine Funktion f suchen und dann die Mehrdimensionale Ito Formel anwenden, damit die PDE erfüllt ist ? Das mit dem lokalen Martingal kann man wohl erst danach dann angehen.
24.01.2010, 19:45	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand eventuell eine Idee ? Ich versteh nicht so genau was verlangt wird.

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