Matrix A negativ definit? |
| 22.01.2010, 16:03 | mx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrix A negativ definit? ich soll zeigen, dass die Matrix negativ definit ist. Leider kann ich die gängigen Methoden nicht anwenden, da die Matrix nicht symmetrisch ist. Kann mir da vielleicht jemand von euch weiterhelfen? |
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| 22.01.2010, 16:14 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du könntest zeigen, dass die Matrix nur negative Eigenwerte hat. |
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| 22.01.2010, 16:18 | mx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Eigenwerte die -2, -40+40i, -40-40i. Aber ich weiß nicht, wie mich das weiterbringen sollte?!? |
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| 22.01.2010, 16:19 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das funktioniert nicht. Dieses Kriterium ist nur für symmetrische Matrizen anwendbar. Allerdings gibt es da einen schönen Satz : Eine Matrix ist genau dann positiv definit (negativ definit) wenn positiv definit (negativ definit) ist. Und die Matrix ist symmetrisch, dort ist das Kriterium also anwendbar. |
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| 22.01.2010, 16:20 | mx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Eigenwertkriterium gilt nur bei symmetrischen Martizen. Meine ist es aber leider nicht. |
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| 22.01.2010, 16:24 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mhhh ... wie unachtsam von mir. Die Sache mit den Eigenwerten funktioniert auch nur bei symmetrischen / hermiteschen Matrizen ... Nur so eine Idee - bringt es vielleicht etwas, streng nach Definition vorzugehen? Edit: Ja, die Vorgehensweise von Mazze ist wohl besser. Wusste ich auch noch nicht. Man lernt nie aus. 
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| 22.01.2010, 16:31 | mx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach der Definition vorzugehen hatte mich leider nicht weitergebracht. An Matze: Ich kenne den Satz nicht. Kannst du mir vielleicht ein Buch nennen, wo ich das nachlesen kann, wieso das so ist? Auf jeden Fall hat es mir weitergeholfen. Vielen Dank an euch beide
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| 22.01.2010, 16:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Weg über die Definition sollte eigentlich immer gangbar sein. Ist manchmal sogar besser. Was die Aussage von mir angeht, die beweist man in 2 Zeilen 
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| 22.01.2010, 16:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Mazze Ich kenne den Begriff positiv definit usw. nur bei symmetrischen Matrizen (quadratischen Formen). In welchem Zusammenhang tritt die von dir angeführte positive Definitheit auf und wie ist die genau definiert? @ mx Könnte es sein, daß deine Matrix nur deshalb nicht symmetrisch ist, weil du dich bei ihrer Berechnung verrechnet hast. 
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| 22.01.2010, 16:35 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben die Eigenschaft positiv definit für allgemeine Matrizen eingeführt, und zwar ist eine Matrix A positiv definit wenn für alle x ungleich 0 gilt. Man kann zeigen das es matrizen gibt, die diese Eigenschaft erfüllen, aber nicht symmetrisch sind. Allerdings stimmt es schon, das sehr oft (nahezu immer) die positive Definitheit für symmetrische Matrizen definiert wird. |
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| 22.01.2010, 16:39 | mx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
An Mazze: Schon gut, den Beweis krieg ich selber hin
.Vielen Dank nochmal. |
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| 22.01.2010, 16:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, wieder was gelernt ... (Mein Verdacht, daß mx sich verrechnet hat, besteht allerdings weiter. Aber was soll's!) |
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| 22.01.2010, 16:43 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest noch einmal Leopolds einwand überprüfen, meine Aussage ist absolut korrekt, aber wie er schon bemerkte, kann es ja sein das ihr positive Deifnitheit für symmetrische Matrizen definiert habt. Und dann wäre wohl erstmal die Suche nach Rechenfehlern wichtig.
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| 22.01.2010, 16:49 | mx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab mich nicht verrechnet. Die Matrix ist mir so in einem Beispiel gegeben (im Zusammenhang mit linearen DGLn). Definitheit einer Matrix haben wir auch für allgemeine Matrizen übers Skaparprodukt definiert. |
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