Gruppen und Symmetrien von Funktionen

14.10.2006, 18:23

akechi90

Gruppen und Symmetrien von Funktionen

Hallo Leute ^^
Nach langer Zeit habe ich mal wieder eine Frage, die ich mir während der letzten Mathematikstunde bei der Wiederholung vom Thema "Symmetrieeigenschaften von Funktionen" gestellt habe.
Da es eigentlich sowohl Analysis als auch Algebra streift, war ich mir unsicher, obs nun in Algebra oder Analysis soll.

Also, in RxR gibt es ja zwei "primitive" Symmetrien bei Funktionen, nämlich die y-Achsensymmetrie und die Punksymmetrie zum Ursprung.
Unter primitiven Symmetrien lege ich jetzt einfach mal diejenigen Symmetrien fest, die sich am Koordinatensystem orientieren, also in deren Schnittpunkten, Geraden, Ebenen, usw. Zum Beispiel würde in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Drehung um einen durch Koordinatenachsen definierten Raum eine primitive Symmetrie sein.

Nun ist mir aufgefallen, dass die Produkte von Funktionen mit primitiven Symmetrien auch wieder Symmetrieeigenschaften zeigen.
Wenn man die y-Achsensymmetrie mit 0 bezeichnet und die Punktsymmetrie zum Ursprung mit 1. Dann entspricht das "Produkt" zweier derartiger Funktionssymmetrien immer einer Summe in der Gruppe {0,1}.
Zum Beispiel ist das Produkt zweier zum Ursprung punktsymmetrischer Funktionen y-Achsensymmetrisch. Und in der binären Gruppe gilt ja auch 1+1=0.

Jetzt habe ich mir also gefragt, ob es zu jedem Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine additive Gruppe gibt, in der jedes Element eine primitive Symmetrie respräsentiert, wobei die Summe von Elementen der Gruppe immer auch jeweils dem Produkt der zugehörigen Symmetrien entspricht.

Ich bin mir sicher, dass etwas derartiges auch in der Fachliteratur vermerkt ist, aber ich konnte weder mit google noch in der Bibliothek Literatur zu diesen Themen finden.
Und, ehrlich gesagt, interessiert mich dieses Thema zurzeit sehr.
Kennt sich jemand mit so etwas aus?
Carsten

EDIT: Übrigens ist mir noch wichtig, dass ich unter ner Funktion im Raum ein System verstehe, in dem zu jeweils n Punkten im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ genau ein weiterer n+1-ter Punkt zugeordnet ist. Also würde demnach auch nichts derartiges wie eine x-Achsensymmetrie bei Funktionen im RxR existieren.

14.10.2006, 19:14

Mazze

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Zumindest existiert die Gruppe {0,1} für alle Räume wenn Du der Y-Symmetrie immer eine Dimension mehr gönnst. Etwa ist

cos(x) Achsensymmetrisch zur y-Achse
cos(x+0y) Ebenensymmetrisch zur Y-Ebene
usw

Das heißt so würde für jeden Raum die Gruppe {0,1} deinen Anforderungen genügen wenn Du die Achsensymmetrie jeweils der Dimension anpasst. Allerdings würde eine reine Achsensymmetrie ohne "dimensionsausgleich" eher deinem Begriff der primitiven symmetrie entsprechen. Im R²xR wären dann nur noch Teilmengen von Ebenen Achsensymmetrisch usw. Was verstehst Du denn darunter das sich Deine symmetrie am Koordinatensystem orientiert?

14.10.2006, 19:24

JochenX

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ich würde in erster Linie mal von Funktionen abkommen und mir gleich Abbildungen von IR^n in sich selbst betrachten.

Eine solche Abbildung wäre dann symmetrisch zu einem Teil des Koordinatnsystems, wenn jedes Tupel $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,....,x_n) \end{eqnarray*}$ auf das fast gleiche Tupel abgebeildet würde, aber mit Vorzeichenänderungen.
Insbesondere könnte man auch die Identität hier hineinpacken, auch wenn die vielleicht nicht ganz passen würde.

Deine Abbildungssymmetrien würden dann sinnvoll nach {0,1}^n abgebildet werden.

denkst du an so etwas ähnliches!?

Meinung anderer Mods gefragt:
Studententhema!?
Es ist zwar kein Schülerthema, aber Unirelevant finde ich es auch nicht und würde es gerne verschieben.....

edit: Ich denke, es ist hier schon ganz gut. Nur weil das Forum jetzt Hochschulmathematik heißt, muss ja nicht alles "unirelevant" sein oder?! Ich denke, solche Themen sind hier ganz gut aufgehoben, da sie vorher sicher auch im HöMa-Forum gelandet wären. Ich identifiziere das Hochschulmathematikforum eigentlich mit dem ehemaligen HöMa-Forum und denke, dass hier auch Fragen hinein gehören, die zwar nicht unirelevant sind, aber doch auf einem höheren als dem Schulniveau liegen. (Max)
PS: Ich hoffe, es ist ok, dass ich das so in deinen Beitrag hänge, Jochen. Wenn nicht, dann kopier es irgendwo anders hin. Augenzwinkern

14.10.2006, 19:25

akechi90

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Ich verstehe primitiv wie folgt:
Eine Symmetrie um einen Punkt P(1/1) im RxR ist zum Beispiel nicht primitiv. Denn P(1/1) ist kein Punkt, der von den Koordinatenachsen ausgerichtet wird. Eine Ebenenspiegelung im R²xR ist nur dann primitiv, wenn die Ebene vollständig durch die Koordinatenachsen bestimmt ist.
Eine Drehung um die Ebene im R³xR ist auch nur dann primitiv, wenn die Ebene durch zwei Koordinatenachsen bestimmt wird.
Sprich, eine Symmetrie ist nur dann primitiv, wenn das Bezugsobjekt der Symmetrie vollständig durch eine Teilmenge der Koordinatenvektoren und dem Ursprung aufgespannt wird.
Eine primitive Ebene wird also immer durch zwei Koordinatenvektoren und den Ursprungspunkt aufgespannt.

Außerdem reicht die {0,1}-Gruppe für meine Beobachtungen nicht aus, denn mein Ziel ist, dass die Gruppe alle primitiven Symmetrien beschreiben kann, deren Bezugsobjekte im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Dimension kleiner gleich n besitzen.

14.10.2006, 19:42

Mazze

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Zitat:

dass die Gruppe alle primitiven Symmetrien beschreiben kann

Das heißt also die Ebenensymmetrie ist erlaubt. Und damit ist die Existenz einer Gruppe für alle symmetrien bereits im R²xR nicht mehr gegeben. Es soll ja das Produkt der symmetrien eine Summe in einer entsprechenden Gruppe darstellen. Betrachte folgendes:

f: (x,y) -> sin(x)

dann ist f Nullpunktsymmetrisch und f² Ebenensymmetrisch

Damit also Deine Bedingung erfüllt ist muss also wenn man 0-Nullpunktsymmetrisch und 1-Y-Achsensymmetrisch definiert für alle Elemente dieser Gruppe

1+1 = 0 gelten
0+0 = 0 gelten
0+1 = 1 gelten
1+0 = 1 gelten

Damit ist die 0 das neutrale Element der Gruppe (da eindeutigkeit des neutralen Elements gilt)

Jetzt muss für jede andere symmetrie a gelten das

a+0 = a ist.

Ich bin mir nicht sicher grad ob das gilt, aber wenn man das wiederlegen kann ist die existenz schon widerlegt. Wenn man das zeigen kann ist man einen Schritt weiter da man das neutrale Element kennt.

14.10.2006, 19:46

irre.flexiv

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Was du meinst sind glaub ich die Symmetriegruppen (z.B. Diedergruppen). Allerdings hast du die in deiner Darstellung gut versteckt.

Wenn du z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ unterwegs bist und $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtest, enthält die Symmetriegruppe alle Drehungen und Spiegelungen die das Rechteck mit den Punkten $\begin{eqnarray*} (x_0, fx_0) , (-x_0, fx_0) , (x_0, -fx_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-x_0, -fx_0) \end{eqnarray*}$ deckungsgleich auf sich abbilden.

14.10.2006, 20:11

akechi90

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Durch die Sinusfunktion ist aber nicht zwangsläufig alles widerlegt. Wenn die Funktion zwei Symmetrien a und b aufweist, und mit einer weiteren Funktion mit den Symmetrien c und d multipliziert wird, kann die neue Funktion die Symmetrien a+c, a+d, b+c und b+d erfüllen. Ist ja möglich, aber langsam fange auch ich an, an meiner Vermutung zu zweifeln.
Möglich wärs ja eigentlich.
Wenn mans widerlegen will, müsste es ja eigentlich ausreichen, die Existenz des neutralen Elements zu widerlegen.

14.10.2006, 20:24

Mazze

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Also ich hab jetzt nicht mehr viel zeit was noch zu berichtigen ist:

man sollte wenn man obige Gleichungen nimmt die Nullpunktsymmetrie mit 1 und Ebenensymmetrie mit 0 bezeichnen damit obiges Gleichungssystem Sinn ergibt.

mfg

p.s.:

ob die Dieedergruppe das gewünschte Leistet wäre eine überlegung wert

edit:

die existenz eines neutralen Elementes muss nicht zwingend die existenz der Gruppe zur folge haben, aber wenn wir es haben sind wir einen Schritt weiter in Richtung Gruppe Augenzwinkern

14.10.2006, 21:41

akechi90

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Ich habe nochmal in diese Richtung weiter gedacht, und habe mir deinen ersten Ansatz nochmals zu Gemüte geführt.
Man könnte tatsächlich für 2-elementige Teilmengen auch jeweils 2-elementige Teilgruppen {0,1} zur Definition der Symmetrien verwenden, allerdings braucht man dann noch ein drittes Element in der Gruppe, sodass die Gruppe nicht abgeschlossen ist. Dass also bei der Addition dieses Elementes kein Element der Gruppe mehr zustande kommen kann. Denn wenn ich eine primitiv-symmetrische Funktion mit einer nicht-primitiv-Symmetrischen Funktion multipliziere, kann wohl schlecht eine symmetrische Funktion rauskommen.

EDIT: Übrigens, die Diedergruppe gibt aber doch nur die Permutationen der einzelnen Symmetrieoperationen wieder, soweit ich richtig liege? Ich hingegen will die Multiplikationen von Symmetrien durch eine additive Gruppe festlegen, sofern es diese gibt.
Worauf willst du also mit der Dieder-Gruppe genau hinaus?

15.10.2006, 14:41

irre.flexiv

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Ich sehe noch ein Problem. Was macht man mit Funktionen die mehrere Symmetrien haben, z.B. $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z(x,y) = x\cdot y \end{eqnarray*}$ .

15.10.2006, 22:24

akechi90

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Das war doch meine Idee, dass es sein könnte, dass jede Funktionssymmetrie durch mehrere Gruppenelemente ausgedrückt werden könnte.
Demnach müsste eine Funktion mit den Symmetrien a und b, multipliziert mit Funktionen der Symmetrien c und d, insgesamt vier neue Symmetrien besitzen.
Ich glaube langsam, wir sollten einfach mal ausprobieren, wie das mit den primitiven Symmetrien in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ aussieht, dann können wir ja damit beurteilen, ob die Vermutung für den Raum zutreffend ist, schließlich gibt es auch nur endlich viele Symmetrietypen zu untersuchen.
Und sollte sich eine additive Gruppe finden, die alle Symmetrien untereinander löst (EDIT: besser: repräsentiert), können wir uns ja an einen allgemeinen Beweis für Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ machen, bevor wir hier über Sachen diskutieren, die wir auch einfach nachprüfen können.

16.10.2006, 14:13

akechi90

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So, ich habe eine gute und eine schlechte Nachricht für euch:

Die Schlechte zuerst:
Heute morgen hatte ich die Erleuchtung, dass es KEINE additive Gruppe für Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ geben kann.
Der Beweis lautet wie folgt:
Eine Symmetrie einer mehrdimensionalen Funktion kann durch Einteilungen von negativen und positiven Plauteaus innerhalb der Abbildung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ spezifiziert werden.
Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y,...) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Funktion in einem beliebigen Raum. Dann werden die Symmetrien dieser Funktion durch negative und positive Plateus definiert.
Man betrachte nun die Funktion $\begin{eqnarray*} f ^{2} \end{eqnarray*}$ . Das entspricht einer zweimal ausgeführten Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Diese Funktion muss an den für die Symmetrie relevanten Plateaus überall positive Werte annehmen. Denn die Multiplikation zweier negativer Plateaus ergibt ein positives. Wenn die Symmetrie der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch das Gruppenelement a repräsentiert wird, wird in einer additiven Gruppe die Symmetrie der Funktion $\begin{eqnarray*} f ^{2} \end{eqnarray*}$ durch das Gruppenelement 2a definiert.
Da $\begin{eqnarray*} f ^{2} \end{eqnarray*}$ nur positive Plateaus besitzt, darf die Multiplikation einer Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f ^{2} \end{eqnarray*}$ die Symmetrieeigenschaften von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht verändern.
Damit ist 2a das Nullelement der Gruppe. Da aber jede additive Gruppe höchstens zwei Elemente a besitzen kann, für die gilt 2a=0, darf es für jede Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ höchstens zwei verschiedene primitive Symmetrien geben. Da aber jede Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ mehr als zwei primitive Symmetrien besitzt, müsste ein Gruppenelement mehrere verschiedene Symmetrien repräsentieren, was ein Widerspruch zu der Annahme ist, dass die Gruppenelemente eindeutige Symmetrien repräsentieren.
q.e.d.

Die gute Nachricht:
Gerade wegen der negativen und positiven Plateus ist es möglich, zu jedem beliebigen Bezugspunkt eine Komposition von positiven und negativen Plateus in primitiv-symmetrischen Gebieten des Raumes zu wählen, und diese Symmetrien durch die Gruppe {0,1,x} zu repräsentieren. x steht für einen Punkt, der keine positive bzw. negative Beziehung zu dem Bezugspunkt hat. Die Addition von x bewirkt stets das Ergebnis x.
Also lässt sich jede primitive Funktionssymmetrie als Kombination von Elementen {0,1,x} darstellen, wobei die Position des Elements auch die Position des Punktes relativ zum Bezugspunkt darstellt.

So, das war vllt ne Nachricht xD

EDIT: Hab vergessen, dass es sich um mehrdimensionale Funktionen handelt. Daher hab ich jetzt die f(x) durch f ersetzt, der Übersicht halber

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