Anfangswertproblem

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23.01.2010, 09:23	joe500	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Hallo, Ich soll ein Anfangswertproblem lösen, doch leider scheitere ich schon kläglich an einer ganz einfachen DGL. Sie ist in folgender Form gegeben: $\begin{eqnarray} \dot{x}=5x-2e^{2t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{y}=x-2y+2e^{2t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{z}=5x+y-2z+5e^{2t} \end{eqnarray}$ Dies ist ein altes Prüfungsbsp. Leider haben wir in der VO nie ein derartiges Beispiel durchgenommen, weswegen ich um eure Mithilfe bitte. Wie kann ich so ein Gleichungssystem auf eine gewöhnliche DGL zurückführen und lösen? mfg Joe
23.01.2010, 09:53	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem Wenn du keine geschicktere Methoden kennst, dann kannst du einfach sehen, dass die erste Gleichung nicht von y oder z abhängt und du kannst sie einfach so lösen. 2. Glechung hängt von x ab, aber da du die erste Gleichung gelöst hast, kennst du x schon, kannst also in die 2. Gleichung einsetzen. Dasselbe, dann mit 3.
23.01.2010, 10:58	joe500	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke für die Antwort, werds gleich mal so rechnen . Habe mich eingehender mit DGL beschäftigt und bin auf die Methode, mit den Eigenwerten gestoßen, und ich bekomme für $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=-1.28 \end{eqnarray}$ . stimmt das soweit?
23.01.2010, 11:25	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschreib bitte genauer, was du gemacht hast, man kann hier Eigenwerte direkt ablesen: 5, -2, -2
23.01.2010, 12:25	joe500	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe die Koeffizientenmatrix gebildet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ -5 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann die Eigenwertmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -2-\lambda & 0 \\ -5 & 1 & -2-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann die Determinante gebildet
23.01.2010, 12:28	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig und die Determinante ist $\begin{eqnarray} (5-\lambda_1)(-2-\lambda_2)(-2-\lambda_3)=0 \end{eqnarray}$ Woraus man direkt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ abliest, da es so schön faktorisiert ist. PS: Warum -5 und nicht 5 in 3. Zeile?
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23.01.2010, 13:49	joe500	Auf diesen Beitrag antworten »
Aja das mit -5 ist falsch sorry schreibfehler... Wenn ich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ habe kann ich ja die die DGL in folgender Form anschreiben: $\begin{eqnarray} C_1e^{-5x}+C_2e^{2x}+C_3xe^{2x} \end{eqnarray*}$ oder?
23.01.2010, 14:45	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahm, wo sind Eigenvektoren?
23.01.2010, 14:53	joe500	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch jetzt die Lsg für x oder. Jetzt muss ich nur noch die Lsg von y und z mit Hilfe der eben erarbeiteten Lsg finden?
24.01.2010, 10:36	joe500	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast natürlich recht die Eigenvektoren fehlen ja noch Hab sie mal ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \lambda=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}^{1} =t\begin{pmatrix} 49/36 \\ 7/36 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}^{2} =t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun müsste das Ergebnis für $\begin{eqnarray} \dot{x} \end{eqnarray}$ lauten: $\begin{eqnarray} x=t\begin{pmatrix} 49/36 \\ 7/36 \\ 1 \end{pmatrix}C_1e^{5x}+t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}C_2e^{2x}+t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}C_3xe^{2x} \end{eqnarray*}$ lauten, sofern die Eigenvektoren richtig sind oder?
25.01.2010, 11:56	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal ist da t unnötig, du brauchst nur ein je Eigenvektor, aber da kommen noch andere Probleme, nämlich 2 gleiche Eigenwerte, dazu noch der unangenehmste Fall. Wenn du diese Methode anwenden willst, muss du dich mehr mit diesem Spezialfall beschäftigen.

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